Орбитальное движение двух взаимодействующих тел

Для единицы массы малого тела, движущегося в поле массивного тела, интеграл энергии имеет вид

Отсюда следует, что потенциальная энергия единицы массы тела, движущегося по круговой орбите, равна

а при движении по эллиптической орбите [52]

Разделив правые и левые части последних уравнений на , получим

; , (58)

где левые части уравнений выражают центростремительные силы, а правые – центробежные.

Если массы взаимодействующих тел соизмеримы, то оба тела будут двигаться по своим орбитам (рис.3.1). В этом случае уравнения (58) для тела, имеющего массу m₁, будут иметь вид

; ,

а для тела, имеющего массу m₂ –

; ,

где V₁ – орбитальная скорость тела m₁; r₁ и l ₁ – радиус-вектор и длина большой оси эллиптической орбиты тела m₁; V₂, r₂ и l ₂– соответствующие величины для тела m₂; r = r₁+r₂ – расстояние между телами m₁ и m₂; m₁= fm₂; m₂= fm_1.

Рис.3.1. Траектории движения взаимодействующих тел

Используя равенства r = r₁+r₂ и m₁r₁= r₂m₂, последние уравнения можно представить в следующем виде:

; ; (59)

; , (60)

где b₁=1+m₁/m₂; b₂=1+m₂/m₁.

Произведя сокращения в уравнениях (59) на r₁, а в уравнениях (60) на r₂, получим выражения для потенциальной энергии соответственно для круговой и эллиптической орбит:

для тела m₁

; ;

для тела m₂

; .

Полную энергию тела m₁ найдем, решив систему трёх уравнений:

; ; ,

где V_n1 и V_a1 – скорости тела m₁ в перицентре и апоцентре; r_n1 и r_a1 – перицентральный и апоцентральный радиусы.

В результате получаем

Аналогично находим для тела m₂:

Теперь можно написать интегралы энергии для тел m₁и m₂:

; .

Сложив почленно эти два уравнения и учитывая равенства V₁m₁=V₂m₂ и r₁m₁=r₂m₂, получим выражения для интеграла энергии системы двух тел:

; . (61)

Таким образом, интеграл энергии может быть выражен или через величины, относящиеся к телу m_1,или через величины, относящиеся к телу m₂. Нетрудно убедиться, что все члены левого уравнения равны соответствующим членам правого уравнения.

Из последних уравнений можно найти орбитальные скорости тел m₁ и m₂ для каждого типа орбит:

для эллиптической орбиты

; ;

для круговой

; ;

для параболической

; ;

для гиперболической

; .

Тангенциальные скорости

для эллиптической орбиты

; ;

для круговой

; ;

для параболической

; ;

для гиперболической

; .

Радиальные скорости

для эллиптической орбиты

; ;

для круговой

; ;

для параболической

; ;

для гиперболической

; .

Уравнения орбит можно вывести из соотношений

; ,

где j₁ и j₂ – истинные аномалии тел m₁и m₂.

Ввиду того что множители b₁и b₂ сокращаются, после интегрирования получим такие же уравнения, как и уравнения (55).

Временная зависимость координат тел m₁ и m₂ выражается формулами:

для эллиптической орбиты

; (62)

;

для параболической

; ;

для гиперболической

;

Для всех трех приведенных случаев t₁=t₂.

Второй закон Кеплера выражается формулой

Подставляя значения V_t, окончательно получим

; .

Выражения для третьего закона Кеплера найдем, определив полупериод обращения тел m₁ и m₂вокруг друг друга по формулам (62)

; ;

или

; . (63)

В настоящее время уточненный третий закон Кеплера записывается в виде [53, 54]

, (64)

где а – длина большой полуоси эллипса. В наших обозначениях это выражение примет вид

. (65)

Как видим, в формулах (63) и (65) имеются расхождения. Это объясняется тем, что при выводе формулы (65) истинную массу тела m₁ заменили приведенной, а вместо истинного радиуса-вектора r₁ взяли радиус, равный r, который в b₁ больше истинного. Длина большой полуоси в формуле (64) также больше истинной в b₁ раз, то есть

При таком значении «a» формула (64) превращается в формулу (63) для малого тела m_1.Аналогично можно показать и для тела m₂. Таким образом, результаты расчетов по формулам (64) и (63) совпадают.

3.3. Взаимодействие неподвижных и движущихся
заряженных тел

Будем рассматривать одновременно и гравитационное и электрическое взаимодействие. При гравитационном взаимодействии зарядом будем считать массу тела. Заряженные тела вызывают напряжения в эфире или, как принято сейчас говорить, создают электрические и гравитационные поля. Напряженность электрического поля определяют с помощью теоремы Гаусса. Она справедлива только для неподвижных зарядов. Применяемая нами методика расчета позволяет определять напряженность поля, создаваемого как неподвижными, так и движущимися зарядами. Рассмотрим это на нескольких примерах.

На рис. 3.2 изображен стержень бесконечной длины, заряженный с линейной плотностью s. Элемент длины dl стержня создает в точке А напряженность поля

где r – расстояние элемента dl от точки А.

Рис. 3.2. Схема для определения напряженности поля

Из рис. 3.2 находим

; ; .

С учетом этого в системе единиц СГСЭ для напряженности поля в эфире получим выражение

Аналогично определим напряженность поля бесконечной пластины, заряженной с поверхностной плотностью s. Кольцевой элемент пластины создает в точке А напряженность поля

где - площадь кольцевого элемента пластины.

Из рисунка 3.3 находим

; ; .

С учетом этого получим

Рис. 3.3. Схема для определения напряженности поля пластины

Теперь определим напряженность поля сферической поверхности. В точке А кольцевой элемент создает напряженность

где s - поверхностная плотность зарядов; dF – площадь кольцевого элемента.

Из рис. 3.4 находим

; ;

Теперь можно определить напряженность поля

где - полный заряд сферы.

Рис. 3.4. Схема для определения напряженности поля
сферической поверхности

Взаимодействие распространяется с конечной скоростью, равной скорости света. Это обусловлено наличием эфира, который заполняет все мировое пространство. Законы Ньютона и Кулона точно выполняются только для тел, неподвижных относительно эфира. Конечность скорости распространения взаимодействия не оказывает влияния на эффективность взаимодействия неподвижных тел. Для движущихся тел эффективность взаимодействия зависит от соотношения между скоростью света и скоростью движения тел. Формулы эффекта движения аналогичны формулам эффекта Доплера в оптике и акустике. Для случая, когда оба взаимодействующих тела движутся, формула эффекта движения совпадает с формулой (31).

Исследуем взаимодействие двух параллельных проводников, по которым текут токи. В металлических проводниках носителями тока являются электроны. Положительные ионы при прохождении тока остаются неподвижными. Рассмотрим четыре возможных случая.

1. Ток отсутствует в обоих проводниках. В этом случае неподвижные заряды одного проводника создают напряженность, равную , в другом проводнике, находящемся на расстоянии S от первого. Силы притяжения разноименных зарядов компенсируют силы отталкивания одноименных, и в результате суммарная сила, действующая на каждый проводник, будет равна нулю.

2. Ток течет в одном проводнике. В этом случае эффективность взаимодействия между неподвижными положительными зарядами первого проводника и неподвижными положительными и отрицательными зарядами второго проводника не изменится. Эффективность же взаимодействия движущихся электронов первого проводника и неподвижных зарядов второго изменится. Неподвижные заряды второго проводника воздействуют на движущиеся электроны, а движущиеся электроны, в свою очередь, воздействуют на них. В первом случае электроны следует считать приемниками, а во втором – источниками.

Чтобы упростить расчеты и исключить возможную путаницу с углами, через которые выражаются эффект Доплера и эффект движения, целесообразно для всех трех случаев, рассмотренных в разделе 1.8, применять только одну формулу (31). Приняв единое обозначение углов, формулу (31) можно записать в следующем виде:

а=а₀ , (66)

где а – величина, зависящая от скорости движения тел; a и b - углы между направлениями движений источника и приемника и линией, соединяющей точку, из которой был послан сигнал источником, с точкой, в которой он был принят приемником.

На рис. 3.5 показана схема взаимодействия движущихся электронов – приемников с неподвижным единичным зарядом – источником. Для этого случая формула (66) примет вид

Сигнал от неподвижного заряда, находящегося в точке В, движущийся заряд принял в точке А. На неподвижный элементарный заряд в точке А единичный заряд, находящийся в точке В, действовал бы с силой

В этой формуле величиной, зависящей от скорости движения электронов, является радиус r. На движущийся элементарный заряд будет действовать сила

Принимая во внимание, что

; ,

получим

. (67)

Таким образом, неподвижные заряды действуют на движущиеся с силой в (C²+V²)/C² раз большей, чем на неподвижные.

Рис. 3.5. Взаимодействие движущихся электронов – приемников
с неподвижным зарядом – источником

Рис. 3.6. Взаимодействие движущихся электронов – источников
с неподвижным зарядом – приемником

На рис.3.6 показана схема взаимодействия движущихся электронов-источников с неподвижным единичным зарядом-приемником. Для этого случая формула (66) примет вид

Сигнал от движущегося источника был послан в точке А и был принят неподвижным приемником в точке В. Напряженность поля, создаваемая движущимися электронами, в точке В будет равна

. (68)

Как видим, движущиеся электроны действуют на единичный заряд в точке В с силой в раз большей, чем неподвижные. При скоростях движения электронов, значительно меньших скорости света, сила, с которой действует единичный неподвижный заряд на движущиеся электроны, практически равны силе, с которой действуют движущиеся электроны на единичный неподвижный заряд.

Движущиеся электроны взаимодействуют одновременно и с электронами, и с положительными ионами второго проводника. По этой причине как в случае, когда электроны являются приемниками, так и в случае, когда они являются источниками, силы притяжения будут компенсироваться силами отталкивания. Оба проводника будут неподвижны при прохождении тока в одном из них.

а) б)

Рис. 3.7. Взаимодействие параллельных токов, текущих:
а - в противоположных направлениях; б - в одном направлении

3. Токи в проводниках текут в противоположных направлениях (рис.3.7,а). Напряженность поля в точке А, обусловленная движением электронов-приемников и электронов-источников соответственно в верхнем и нижнем проводниках, можно определить по формуле

. (69)

Если токи текут по параллельным проводникам, то углы и будут равны. С учетом этого для случая, когда электроны в обоих проводниках движутся с одинаковой скоростью, напряженность поля в точке А будет равна

(70)

При встречном движении электронов проводники будут отталкиваться, так как силы отталкивания между движущимися электронами будут превосходить силы притяжения, обусловленные действием неподвижных положительных ионов на движущиеся электроны и движущихся электронов на неподвижные положительные ионы, соответственно в следующее число раз:

4. Токи в проводниках текут в одном направлении (рис. 37,б). Если скорости движения электронов в обоих проводниках равны, то в соответствии с формулами (69) и (70) силы отталкивания между движущимися электронами будут такими же, как и между неподвижными. Силы же притяжения между движущимися электронами и неподвижными положительными ионами возрастут в соответствии с формулами (67) и (68). В результате проводники будут притягиваться.

Если электроны в проводниках движутся с разными скоростями, то, решив интеграл (69), получим следующие формулы для двух случаев:

токи текут в противоположных направлениях –

; (71)

токи текут в одном направлении –

. (72)

При равенстве скоростей формула (71) превращается в формулу (70), а формула (72) – в формулу для неподвижных зарядов.

а) б)

в)

Рис. 3.8. Приращение напряженности электрического поля,
обусловленное эффектом движения для случаев:
а - U=const, V-аргумент; б - V=const, U-аргумент; в - U=V

Вследствие эффекта движения эффективность взаимодействия между движущимися зарядами и между движущимися и неподвижными зарядами по сравнению с эффективностью взаимодействия между неподвижными зарядами будет или увеличиваться, или уменьшаться. Для учета этого эффекта в настоящее время введено понятие магнитного поля. Согласно теории относительности магнитное взаимодействие между движущимися зарядами является релятивистским эффектом [55]. Наши исследования подтвердили, что реально существует только электрическое поле. Магнитное взаимодействие есть следствие эффекта движения. Теория относительности объясняет магнитные явления, вводя новые представления о пространстве и времени. Мы же объясняем эти явления, исходя из классических ньютоновских представлений о пространстве и времени. Хотя, магнитное поле реально и не существует, но введение этого понятия упрощает расчеты и поэтому является вполне оправданным.

Чтобы наглядно представить зависимости, выражаемые формулами (67)-(73), произведены расчеты и по расчетным данным построены графики (рис. 3.8). При расчетах было принято С=300 условным единицам, а значения V и U изменялись в пределах от 0 до 15 условных единиц, DE, характеризующее величину магнитного поля, определяли по формуле

DE = Е - Е₀, (73)

где Е и Е₀ – напряженности электрических полей, вычисленные по формулам (67)-(73).

Анализ кривых, изображенных на графиках, позволяет сделать следующий вывод. Движение приемников и движение источников по-разному влияют на эффективность взаимодействия зарядов. Большее влияние на эффективность взаимодействия оказывает движение приемников.

На рис. 3.8,а приведены кривые для случаев, когда источники движутся с постоянной скоростью, а скорость приемников изменяется от 0 до 15. При встречном движении электронов (U = -15) DE достигает максимального значения. Оно равно 0,00167 для неподвижного приемника и достигает значения 0,01335, когда скорость приемника станет равной скорости источника, то есть V=U=15. Расчетные данные для этой кривой вычислены по формуле (71). Если движется только приемник (U=0), то изменяется от 0 до 0,0050. Кривая построена с помощью формулы (67). Третья кривая (U=15) построена с помощью формулы (72) для случаев, когда электроны в обоих проводниках движутся в одном направлении. При U=V приращение напряженности электрического поля равно 0. Вначале принимает отрицательное значение. Затем с уменьшением скорости приемника повышается и при V=0 становится равным 0,00167.

На рисунке 3.8,б показаны зависимости от скорости движения источника U при V = const. Кривые V = 15 и V = -15 построены с помощью формул (71) и (72) соответственно. Попутное движение электронов вызывает изменение от 0 при U=15 до 0,0050 при U=0, а встречное движение – от 0,0050 при U=0 до 0,01335 при U=15. Кривая (V=0) показывает зависимость, выраженную формулами (68) и (73), изменяется от 0 при U=0 до 0,00167 при U=15.

На рисунке 3.8,в показаны кривые, построенные с помощью формул (70) и (72). Если электроны в обоих проводниках движутся с одинаковой скоростью, то при встречном движении будет изменяться от 0 при V=U=0 до 0,01335 при V=U=15.

3.4. Параметры орбит взаимодействующих тел
с учетом эффекта движения

При движении тела по орбите эффект движения следует учитывать с помощью формулы (66). Для случая, когда оба взаимодействующих тела движутся, формулу можно записать в таком виде:

, (74)

где х - величина, зависящая от скорости движения.

Буквами со штрихами и без штрихов обозначены величины, полученные соответственно с учетом и без учета эффекта движения. В атоме движением ядра можно пренебречь и тогда для величин, характеризующих движение электрона по круговой орбите, можно записать

; , (75)

где а и b – величины, значения которых соответственно увеличиваются или уменьшаются вследствие эффекта движения.

Скорость электрона в атоме также зависит от эффекта движения. Для нее можно записать

. (76)

Преобразовав эту формулу к виду

(76¢)

убеждаемся, что

. (77)

Формулы (75) позволяют рассчитывать с высокой точностью не только параметры круговых орбит электронов в атомах, но и параметры круговых орбит планет и их спутников. При расчетах приходится использовать величины как с учетом, так и без учета эффекта движения. С помощью формул (76) и (76¢) можно легко переходить от одних величин к другим, если известно только одно значение скорости: или V, или V^/. С учетом равенства (77) формулы (75) можно представить в следующем виде:

; . (75¢)

При движении тел по эллиптическим орбитам эффект движения в каждой точке орбиты в соответствии с формулой (74) имеет разное значение. Однако эта формула не точна. Большая ось эллиптической орбиты непрерывно поворачивается в пространстве. Тело участвует одновременно в двух движениях. Оно движется по эллипсу, который поворачивается относительно центра масс взаимодействующих тел. Формула (74) не учитывает движение тела, обусловленное вращением эллипса.

Как показано в работе [56], результаты расчетов параметров орбит электронов в атомах с высочайшей точностью совпадают с экспериментальными данными, если пользоваться формулами усредненного значения эффекта движения g. В общем случае, когда массы взаимодействующих тел соизмеримы,

g = , (78)

где n – величина, характеризующая степень вытянутости орбиты, или по современной терминологии – орбитальное число; k-номер стационарного состояния или главное квантовое число, - скорости взаимодействующих тел в перицентре и апоцентре.

Можно показать, что

где l и b –длины соответственно большой и малой осей эллипса.

С учетом этого формула (78) примет вид

. (78¢)

Формулу (78) удобно применять при расчете атомных систем, а формулу (78¢) при расчете планетарных систем в макрокосмосе. Если массы тел равны, то

а если масса центрального тела очень велика, то

. (79)

В общем случае интеграл энергии системы двух взаимодействующих тел с учетом эффекта движения имеет вид [57]

Траекторию движения тела с учетом вращения эллипса можно определить следующим образом. За элементарный промежуток времени dt=dr₁/V_r₁ радиус-вектор повернется на угол