При отражении волн от зеркала, находящегося в сложном движении (рис. 1.6), уравнение семейства вторичных волн запишется в следующем виде:
,
где x0, y0 и t0 – соответственно координаты и время встречи каждого луча с зеркалом; x и y – координаты точек вторичных волн в рассматриваемый момент времени; t – промежуток времени с момента излучения волн до момента образования данного семейства.
Рис. 1.6. Отражение волны от произвольно движущегося зеркала
Параметрические уравнения огибающей данного семейства
; (4)
, (5)
где 
, 
и 
- производные от x0, y0 и t0.
Направление отраженного луча определяется направлением нормали к фронту отраженной волны:
; (6)
; (7)
. (8)
Можно показать, что все вышевыведенные законы отражения и преломления волн являются частным случаем общего закона. Для этого нужно в каждом конкретном случае найти значения x0, y0, t0 и их производные и подставить в формулы (4)-(8). Эти формулы позволяют решать и другие задачи. Например, если зеркало движется с переменной скоростью по закону V=V0+at0, где V0 - скорость движения зеркала в момент излучения волны; а – ускорение, то тогда
; 
;
.
Подставив производные x0 ,y0 и t0 в уравнения (4)-(8), получим искомые зависимости. Конечный результат ввиду громоздкости не приводим.
Если зеркало вращается, то координаты точек встречи каждого луча точечного источника с зеркалом (рис. 1.7) выразятся формулами
;
.
В опыте Саньяка зеркала вращаются по окружности радиуса R (рис. 1.8).
Рис. 1.7. Отражение сферической волны
от вращающегося зеркала
Значение координат x0 и y0 можно вычислить по формулам
; 
.
Общий закон отражения и преломления волн справедлив как в оптике, так и в акустике [12].
Рис. 1.8. Ход лучей в опыте Саньяка
относительно неувлекаемого эфира
1.6. Релятивистский закон отражения волн
от поступательно движущихся зеркал
Закон отражения световых волн от движущегося плоского зеркала выводится следующим образом. Пусть зеркало движется относительно наблюдателя и источника света вдоль своей нормали (рис.1.9). В системе отсчета S, в которой зеркало покоится, справедлив обычный закон отражения, то есть угол падения α равен углу отражения β. В системе отсчета S/, в которой находится наблюдатель, это равенство нарушается.
Угол падения α/ не равен углу отражения β/. Соотношения между углами α и α/ и соответственно между углами β и β/ имеют следующий вид [13]:
; 
; (9)
; 
; (10)
; 
. (11)
Рис. 1.9. Отражение света от движущегося зеркала
Приравнивая правые части уравнений, закон отражения световых волн от движущихся зеркал в системе отсчета S/ можно записать в следующем виде:
; (12)
; (13)
. (14)
Эти уравнения легко преобразуются к виду
; (15)
; (16)
. (17)
Сравнивая формулы (15)-(17) с формулами (1)-(3), обнаруживаем их поразительное сходство. Зависимость между углом падения и углом отражения в системе отсчета, в которой находятся наблюдатель и источник света, такая же, как и в системе координат, связанной с неувлекаемым эфиром, согласно классической физике. В первом случае зеркало движется со скоростью V относительно наблюдателя, а во втором – относительно неувлекаемого эфира.
Если связать систему координат с движущимся относительно эфира зеркалом, то будем наблюдать следующую картину (рис.1.10). В момент излучения волны зеркало находится на расстоянии S от источника света. Луч, падающий на зеркало под углом α, встретится с ним в точке m через промежуток времени
.
В системе координат, связанной с зеркалом, луч падает на зеркало под углом α1.
Из треугольника dem и de1m находим
. (18)
Рис. 1.10. Ход лучей в системе координат, связанной с зеркалом
Отразившийся луч света пройдет отрезок mn за промежуток времени
.
Из треугольника kmn и km1n для отраженного луча находим
.
Подставляя в последнюю формулу значения sinβ и cosβ, согласно формулам (1) и (2) получим
.
Сравнив это с формулой (18), видим
.
Итак, согласно теории о неувлекаемом эфире, в системе координат, связанной с движущимся зеркалом, для падающей и отраженной волн имеет место равенство углов падения α1 и углов отражения β1. Эти углы образованы нормалью к зеркалу km1 и отрезками e2m1 и m1n. Они указывают на кажущиеся направления распространения падающей и отраженной волн относительно зеркала. Отрезки em и mn, изображенные сплошными линиями, являются нормалями к фронтам падающей и отраженной волн. Они указывают на истинное направление распространения волн относительно эфира. Зависимость между углами α и β, образуемыми этими отрезками с нормалью к зеркалу km, выразится формулами (1)-(3). При выводе релятивистского закона отражения волн от движущихся зеркал было принято без доказательства, что в системе отсчета, связанной с движущимся зеркалом, углы падения и отражения волн равны.
Значения углов падения и отражения волн в системе координат, связанной с зеркалом, можно выразить через значения соответствующих углов в системе координат, связанной с эфиром, следующими формулами:
,
(19)
;
,
(20)
;
, 
. (21)
Приравняв правые части уравнений, получим новые выражения закона отражения волн от поступательно движущихся зеркал в системе координат, связанной с эфиром:
, (22)
, (23)
. (24)
Эти уравнения можно легко преобразовать в формулы (1), (2) и (3).
Сравнивая уравнения (22), (23) и (24) с уравнениями (12), (13) и (14), замечаем, что уравнение (14) имеет такой же вид, как и уравнение (24). Уравнения (12) и (13) преобразуем к виду
(25)
(26)
Множители левых и правых частей уравнения равны
= 
.
В этом легко убедиться, если принять во внимание уравнение (14). После сокращения на общий множитель уравнения (25) и (26) становятся подобными уравнениям (22) и (23). Теперь релятивистский закон отражения волн от движущихся зеркал можно записать в следующем виде:
= – 
,
= 
,
.
Как видим, законы отражения от поступательно движущихся зеркал, согласно теории относительности и согласно теории неувлекаемого эфира, выражаются подобными уравнениями. Однако согласно теории относительности процессы отражения волн рассматриваются в системах отсчета, связанных либо с наблюдателем, либо с движущимся зеркалом, а согласно теории неувлекаемого эфира эти процессы рассматриваются в системах координат, связанных либо с эфиром, либо с зеркалом. Как изменятся величины углов падения и углов отражения при переходе от одной системы отсчета к другой в первом случае, и как они будут меняться при переходе от одной системы координат к другой во втором случае, можно вычислить соответственно по формулам (9)-(11) и (19)-(21). Формулы, полученные с помощью теории относительности, и формулы, полученные с помощью теории неувлекаемого эфира, имеют разный вид. Для их сравнения преобразуем формулы (9)-(11) к виду
;
;
;
;
; 
.
Сравнив полученные выражения с формулами (19)-(21), замечаем, что абсолютные величины углов, согласно теории относительности и теории эфира, не равны. Это является следствием ошибочных допущений в теории относительности.
1.7. Закономерности распространения волн
в неоднородных средах
Выше были даны выводы формул для волн, распространяющихся в однородных средах. Однако во многих областях науки и техники приходится иметь дело с волнами, распространяющимися в неоднородных средах. В качестве примеров рассмотрим распространение акустических волн в океане и световых волн в воздушной оболочке Земли. Скорость звука в океане растет с увеличением глубины траектории луча, а скорость света растет с увеличением высоты траектории луча. Если пренебречь кривизной поверхности земного шара, то траектория акустического луча в океане и траектория светового луча в воздушной оболочке Земли изобразятся кривыми, показанными соответственно на рис. 1.11,а и 1.11,б.
При распространении волн в плосконеоднородных средах выполняется следующая зависимость:
,
где β0 и β – углы между осью h и направлением луча соответственно в точке входа его в среду и в любой произвольной точке траектории; С и С0 – скорости распространения волн в этих точках.
а) б)
Рис. 1.11. Распространение волн в плосконеоднородных средах:
а – в океане; б – в воздушной оболочке земли
Скорость звука в океане и скорость света в атмосфере Земли можно выразить формулой [6,14] 
, где h – глубина (высота) траектории луча; k – градиент скорости распространения волны. Теперь последнее выражение можно записать следующим образом:
.
С учетом этого из соотношения
находим координату L
.
Это уравнение можно преобразовать к виду
.
Таким образом, убеждаемся, что траекториями лучей являются окружности с радиусами R=C0/ksinβ0 и координатами их центров L=(C0ctg β0)/k; h= 
C0/k. Положительное значение координаты h относится к световым лучам, а отрицательные – к акустическим.
Время пробега волной элемента длины траектории луча dS равно
.
Полное время пробега, выраженное через угол β, равно
.
Далее находим длину цикла Lц, максимальную глубину (высоту) траектории hmax и время цикла tц [15]:
; 
; 
.
При распространении волн в сферически-неоднородных средах (рис. 1.12) выполняется зависимость [16]
,
где β0 и β – углы преломления; С0 и 
- скорости распространения волн на расстояниях R0 и R от центра Земли.
а) б)
Рис. 1.12. Распространение волн в сферически-неоднородных
средах: а – в океане; б – в воздушной оболочке земли
Из последнего выражения следует
.
С учетом этого из соотношения
находим величину центрального угла
.
Центральный угол полного цикла
,
а длина цикла 
.
Глубину траектории луча в каждый данный момент можно определить из выражения
,
откуда максимальная глубина траектории
.
Время пробега волной элемента длины траектории луча dS равно
.
Полное время пробега, выраженное через угол β, равно
.
Время цикла
.
Фаза гармонической волны в любой точке траектории α=2πft, где f – частота сигнала.
В таблице 1.1 приведены результаты расчета траекторий акустических лучей в океане. Буквами без штрихов и со штрихами обозначены величины, полученные соответственно с учетом и без учета кривизны океана.
Таблица 1.1