Строгий вывод закона отражения волн можно произвести, рассматривая сферическую волну, излучаемую точечным источником (рис.1.1).
Рис. 1.1. Отражение волн от неподвижных зеркал
Каждая точка фронта волны встречается с зеркалом через время
где S – расстояние от источника волн до зеркала; С – скорость распространения волн; α – угол падения.
В момент отражения волн каждая точка зеркала становится источником, излучающим сферическую волну. Уравнение семейства вторичных волн имеет вид
где t – промежуток времени от момента излучения волн до момента образования данного семейства.
Угол α является параметром семейства окружностей. Огибающей данного семейства, являющейся фронтом отраженной волны, будет окружность
с координатами центра x1=0; y1=2S и радиусом R1=Ct. Уравнение отраженного луча (нормали к огибающей), выраженное через угол α,
откуда tg α = -tg β и, следовательно, α = - β.
Закон преломления волн
При переходе волн из одной среды в другую происходит их преломление (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Преломление волн
На границе раздела между средами образуется семейство вторичных волн
где С1 – скорость распространения волн во второй среде.
Огибающую данного семейства можно выразить следующими параметрическими уравнениями:
.
Нормаль к огибающей семейства, являющаяся отраженным лучом, выразится уравнением
угловой коэффициент нормали
,
откуда находим известное выражение
Таким образом, преломление волн является следствием изменения скорости их распространения при переходе из одной среды в другую.
1.3. Закон отражения волн от зеркал,
движущихся поступательно
Зеркало, движущееся со скоростью V, в момент излучения волны находится на расстоянии S от источника (рис.1.3).
Каждая точка фронта волны встретится с зеркалом через промежуток времени [12]
Уравнение семейства вторичных волн от всех точек зеркала имеет вид
Рис.1.3. Отражение сферических волн от зеркала,
движущегося поступательно
Огибающей данного семейства является окружность
с координатами центра 
и радиусом 
.
Направления падающего и отраженного лучей определяются нормалями соответственно к фронту падающей и фронту отраженной волны. Нормаль к фронту падающей волны выражается уравнением
,
а к фронту отраженной волны уравнением
.
Так как фронт отраженной волны является окружностью, то все нормали пересекутся в ее центре. Зная координаты центра отраженной волны, можно в любой момент определить направления отраженных лучей. Зависимость между углом отражения β и углом падения α выражается формулами
; (1)
; (2)
. (3)
Таким образом, угол падения не равен углу отражения. Угол β меньше угла α, когда зеркало движется к источнику волн, и больше угла α, когда зеркало движется от источника.
Отношение радиуса фронта волны R1, отраженного от движущегося зеркала, к радиусу фронта волны R, отраженного от неподвижного зеркала, равно
.
Радиус R1 больше R, когда зеркало движется к источнику волн, и меньше R, когда зеркало движется от источника.
Вследствие движения зеркала геометрическим местом точек встречи фронта падающей волны с зеркалом будет не прямая, как это имеет место для неподвижных зеркал, а кривая, уравнение которой имеет вид
,
или в параметрическом виде
Нормаль к этой кривой выражается уравнением
.
Углы, образованные падающим и отраженным лучами с нормалью к геометрическому месту точек встречи зеркала с падающей волной, равны между собой:
.
Таким образом, отражение волн от движущегося зеркала аналогично отражению волн от неподвижного зеркала с криволинейной поверхностью.
Выведенная зависимость между углом падения и углом отражения от движущегося зеркала для точечного источника волн справедлива и для протяженного источника, излучающего волны с плоским фронтом (рис.1.4). Каждая точка плоского фронта волны встретится с зеркалом через время
.
Координаты точек встречи равны:
; 
.
Уравнение геометрического места точек встречи имеет вид
,
то есть прямая с углом наклона
.
Рис.1.4. Отражение плоской волны от зеркала,
движущегося поступательно
Так как отражение волн от движущегося зеркала аналогично отражению от неподвижного зеркала, поверхность которого описывается уравнением геометрического места точек встречи волн с движущимся зеркалом, то, следовательно, угол отражения
,
а
,
то есть получилась такая же зависимость, как и для точечного источника.