Из различных источников я нашёл интересные задачи, которые были использованы в различные исторические периоды.
Задача Герона Александрийского (I в. н. э.), древнегреческий инженер, физик, механик, математик, изобретатель
Бассейн вместимостью 12 куб. ед. наполняется через две трубы, из которых через одну поступает в каждый час 1 куб. ед. воды, а через другую - 4 куб. ед. За какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?
1)4+1=5(куб. ед.) наполняют обе трубы за 1 час совместной работы.
2)12:5=(часа) наполнят трубы бассейн.
Ответ: за 2 часа 24 минуты наполнится весь бассейн.
Задача и з "Арифметики" Леонтия Филипповича Магницкого. Учебник арифметики, по которому учился Михаил Васильевич Ломоносов. Эта задача трехвековой давности.
Один человек выпьет бочонок за 14 дней, а с женой выпьет тот же бочонок за 10 дней. За сколько дней жена его отдельно выпьет этот бочонок?
Решение 1 способом. Весь бочонок принят за - 1.
1)1:14=бочонка пьёт один человек в день.
1:10=бочонка пьёт муж и жена в день.
2) пьёт жена в день.
3)1:дней понадобится жене чтобы выпить бочонок.
Ответ:35 дней понадобится жене чтобы выпить бочонок.
Анания Ширакаци (615 г.) - армянский философ, математик и географ середины 7 века.
Задача В городе Афины был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за 1 ч, другая, более тонкая, - за 2 ч, третья, еще более тонкая, - за 3 ч. За какую часть часа все три трубы вместе наполнят водоем?
Решение. Весь водоём принят за - 1.
1)1:1==1 (водоёма) наполняет первая труба за 1 ч.
2)1:2= (водоёма) наполняет вторая труба за 1 ч.
3)1:3= (водоёма) наполняет третья труба за 1 ч.
4) 1+ (часа) понадобится всем трубам чтобы наполнить водоём.
Ответ: 2 ч понадобится трубам чтобы наполнить водоём.
Задача С. Сатина из журнала «Крокодил» (1990. № 34):
За десять дней пират Ерема
Способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром
Пираты, действуя вдвоем?
Решение. вся бочка принята за - 1.
1)1:10=бочки рома выпивает пират Ерёма в день.
1:14=бочки рома выпивает пират Емеля в день.
2) бочки рома выпивают оба пирата в день.
3)1: дней выпьют бочку рома оба пирата.
Ответ: за 5 дней выпьют бочку рома оба пирата совместно.
Задача Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за год, второй - за 2 года, третий - за 3 года, четвертый - за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?
Решение. Способ 1. Вся работа принята за – 1.
1) 1:1=1за 1 год 1-ый плотник сделает всю работу.
1:2=(работы) делает 2-ой плотник за 1 год.
1:3=(работы) делает 3-ий плотник за 1 год.
1:4=(работы) делает 4-ый плотник за 1 год.
2)1+(домов) сделают плотники за 1 год, работая совместно.
3)1:(года) понадобится плотникам, чтобы сделать 1 дом.
Ответ: за года или 175 дней часа сделают плотники 1 дом работая совместно.
Решение. Способ 2. Пусть все мастера работали 12 лет.
1)12:1=12(домов) построит 1-ый плотник за 12 лет.
12:2=6(домов) построит 2-ой плотник за 12 лет.
12:3=4(дома) построит 3-ий плотник за 12 лет.
12:4=3(дома) построит 4-ый плотник за 12 лет.
2)12+6+4+3=25(домов) построят плотники за 12 лет.
3)12:25=(года) построят плотники 1 дом совместно.
Ответ: за 175 дней часа построят плотники 1 дом, работая совместно.
Задача. Для переписки сочинения наняты 4 писца; первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня, второй - за 36, третий - за 20 и четвертый - 18 дней. Какую часть сочинения напишут они за один день, если будут работать вместе?
Решение. Всё сочинение принято за - 1.
1)1:24=сочинения пишет первый писец за 1 день.
1:36= сочинения пишет второй писец за 1 день.
1:20= сочинения пишет третий писец за 1 день.
1:18= сочинения пишет четвёртый писец за 1 день.
2) сочинения пишет первый и второй писец за 1 день.
3) сочинения пишет первый, второй и третий писец за 1 день.
4) сочинения пишут все писцы за 1 день.
5)1: дня напишут сочинение писцы работая вместе.
Ответ: за 5 дня напишут писцы сочинение, работая вместе.
Задача Старинная задача (Китай, II в.).
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Решение. Весь путь принят за - 1.
1)1:7=(пути) пролетает дикая утка в день.
1:9=(пути) пролетает дикий гусь в день.
2) (пути) пролетают дикий гусь и дикая утка в день.
3)1:(дней) встретятся дикая утка и дикий гусь.
Ответ: за 3 дней встретятся дикая утка и дикий гусь.
8. Старинная Задача
Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за 2 месяца, овца – за 3 месяца. За какое время лошадь, коза и овца съедят вместе такой же воз сена?
Решение. Всё сено принято за - 1.
1)1:1=(сена) съедает лошадь за 1 месяц
1:2=(сена) съедает коза за 1 месяц
1:3=(сена) съедает осёл за 1 месяц
2)1+=2(месяца) хватит на всех (лошадь, коза, овца) сена.
Ответ: на 2 месяца хватит сена для животных.
Задача Эйлера.
Леонард Эйлер (4 апреля 1707г.- 18 сентября 1783г.) - является основателем русской научной математической школы. Полное собрание его сочинений насчитывает более 70 томов, а списки его трудов – более 850 названий.
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий – 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т. д.». Определите число сыновей и размер завещанного сбережения.
Решение: так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000 рублей меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 рублей меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 рублей. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000 рублей, а остальные 7000 рублей получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 49000 рублей..
2) Известный физик А. В. Цингер в своих воспоминаниях о Л. Н. Толстом рассказывает о следующей задаче, которая очень нравилась известному писателю:
«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»Решение: если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол - артели, то ясно, что за полдня пол-артели скашивает луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенным участок в. Если один косец скашивает в день луга, а скошено было, то косцов было восемь.
В начале XVIII века в России было немного образованных людей. Одним из авторитетных учёных был Леонтий Филиппович Магницкий (), который в 1703 году издал первый печатный учебник по математике «Арифметика». По этому учебнику обучались многие поколения русских людей. В книге Магницкого много задач с разным содержанием, включая и дроби.
3) «Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тое же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его выпьет тое же кадь»
Решение: муж за день будет выпивать часть кади, а вместе с женой - часть, значит, жена за один день выпьет часть кади, а всё содержимое выпьет за 35 дней.
4) «Воз сена».
Лошадь съедает воз сена за месяц, коза - за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
Решение: Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съест 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съест 6 возов. Овца съедает воз сена за три месяца, значит, за год она съест 4 воза. Вместе за год они съедят 12+6+4=22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12:22= месяца.
5) «Далеко ли до деревни?
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идёшь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если ещё пройдёшь три версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько вёрст осталось ещё идти первому прохожему?
Решение:До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет - = часть всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошёл *12 = 4 версты и осталось ему ещё идти 8 вёрст.
6) «С чем иностранка к россам привезена?»
Нововыезжей в Россию иностранной мадаме
Вздумалось оценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро
И праздничный чепец а ля фигаро.
Оценщик был русак,
Сказал мадаме так:
«Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта дороже чепца фигаро;
Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина».
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем иностранка к россам привезена.
(Вполчетверта – в 3 раза)