В моделях нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимым к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям. В таких моделях преобразованию подвергается результативная переменная - y, в отличие от нелинейных моделей 1-ого типа, где результативная переменная остается неизменной, а преобразуются объясняющие переменные.
Если в линейной модели и моделях, нелинейных по объясняющим переменным, при оценке параметров исходят из критерия å(y-y’)2®min, то в моделях, нелинейных по параметрам, требование МНК применяется не к исходным данной результирующей переменной, а к ее преобразованной величине, т.е. кln y, 1/y. Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений логарифмов:
å(lny- 
)2®min или å(
- 
) 2®min.
Соответственно, если в линейных моделях и моделях нелинейных по объясняющим переменным å(y-y’)=0, то в моделях нелинейных по параметрам:
å(lny-’)=å(lny - y*’)=0 или å(1/y-(1/y)’)= å(1/y - y*’)=0.
Однако:
.
Вследствие этого оценка параметров с помощью МНК для нелинейных моделей внутренне линейных оказывается несколько смещенной. Поэтому при оценивании параметров таких моделей особое внимание следует уделять выполнению предпосылок нормальной классической модели множественной регрессии.
Рассмотрим оценивание параметров степенной зависимости: применяется МНК к линеаризованному уравнению lny=lna+b·lnx+lnu, т.е. решается система нормальных уравнений:
ålny=n·lna+bålnx
ålny·lnx=lna·ålnx+bå(lnx)2
Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр а - косвенным путем после потенциирования величины lna.
Поскольку параметр а экономически не интерпретируется, то нередко зависимость записывается в виде логарифмически линейной, т.е. как: lny=А+b·lnx(А=lna).
В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения. При этом обычно в функциях спроса параметр b<0, а в функциях предложения: b>0.
Классическая линейная модель множественной регрессии
Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР) представляет собой простейшую версию конкретизации требований к общему виду функции регрессии f(X), природе объясняющих переменных X и статистических регрессионных остатков (Х) в общих уравнениях регрессионной связи (2.3)[1]. В рамках КЛММР эти требования формулируются следующим образом:
Из (2.5) следует, что в рамках КЛММР рассматриваются только линейные функции регрессии, т.е.
где объясняющие переменные x(1), x(2),…, x(p) играют роль неслучайных параметров, от которых зависит закон распределения вероятностей результирующей переменной y. Это, в частности, означает, что в повторяющихся выборочных наблюдениях (xi(1), xi(2),..., хi(p); yi) единственным источником случайных возмущений значений yi являются случайные возмущения регрессионных остатков i.
Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии
