Внутренние крутящие моменты Мк яв-ся равнодействующими внутр. сил,распределенных по определенному закону по площади поперечного сечения стержня. Гипотезы,принимаемые при расчетах на кручение стержней круглого сечения:
· Сечения, плоские до деформации, остаются плоскими после деформации.
· Все радиусы данного сечения остаются прямыми и поворачиваются на один и тот же угол фи,т.е каждое сечение поворачивается относительно продольной центральной оси z стержня как жесткий тонкий диск.
· Расстояния м/у сечениями при деформации не изменяются,не изменяется длина стержня и его диаметр.
В целях выяснения закона распределения касательных напряжений по сечению стержня применим закон Гука для сдвиговой деформации:
Ιк=γ*G= ρ*G *dγ/dz,
где G – модуль упругости материала стержня при сдвиговых деформациях.
Таким образом, касательное напряжение при сдвиговой деформации кручения изменяется по линейному закону от нуля в центре сечения (при ρ=0) до макс значения max
Ιк на поверхности стержня (при ρ= max ρ=r).
В сечении n-n стержня нагруженного крутящим моментом Мкр,выделим элементарную площадку dA, расположенную на текущем радиусе ρ. Элементарный крутящий момент,передаваемый элементарной площадкой dA, определяется как элементарная сила dТ= Ιк* dA, приложенная на плече ρ относительно центральной оси z стержня:dMk= ρ* Ιк* dA.
Крутящий момент,передаваемый всей площадью сечения стержня Мк=∫ ρ* Ιк* dA.
Подинтегральное выражение последней формулы пробразуем: вначале умножим и разделим его на ρ; отношение Ιк/ ρ=const вынесем за знак интеграла; ставшееся интегральное выражение есть не что иное,как полярный момент инерции площади поперечного сечения стержня:
|
|
Мк=∫ ρ* Ιк* dA.= ∫ ρ* ρ/ ρ* Ιк* dA= Ιк/ ρ*∫ ρ^2 dA= Ιк/ ρ*Ip
Таким образом получаем формулу для определения касательного нопряжения при деформации кручения в любой точке поперчного сечения круглой формы;
Ιк= Мк* ρ/ Ip
Сечение n-n, расположенное на расстоянии dz от закрепленного сечения, при действии крутящего момента Мкр повернется на элементарный угол dγ. Тогда на проекции элементарная длина дуги 33'= r*dγ. Отсюда приравнивая получаем γ*dz= r*dγ, откуда наибольший угол сдвинутой деформации на поверхности стержня будет определяться Из анализа закона распределения касательных напряжений Ιк при кручении следует,что при круглом сплошном сечении стержня значительная часть материала в центральной части сечения недонапряжена; т.е. прочностные св-ва материала используются нерационально.Поэтому более рационально использовать круглое трубчатое сечение.
Расчеты на прочность и жесткость при кручении.
Условие статической прочности стержней круглого сечения при кручении применяемое при проверочных расчетах:
max Ιк= Mk/Wp≤[ Ιк],
где [ Ιк]- допускаемое касательное напряжение при кручении материала,из которого изготовлен стержень.
Для стальных элементов конструкции можно применять [ Ιк]= (0.5;0,6) [δ]-основное допускаемое напряжениедля материала(при растяжении).
Проектировочный расчет стержня сплошного круглого сечения проводится,исходя из усл. прочности на основе след. соотношения:
Wp=π*d^3/16≥Mk/ Ιк,
отсюда можно определить требуемый прочный диаметр такого сечения
|
|
d≥ ³√ 16Мк/π* [ Ιк].
Аналогично можно определить требуемый прочный наружный диаметр круглого трубчатого сечения стержня при заданном соотношении диаметров с=d0/d:
d≥ ³√ 16Мк/π* [ Ιк]*(1-с^4).
Условие жесткости стержней при кручении γ=Mk*l/G*Ip ≤[γ] или Өk=γ/l=Mk/G*Ip≤[Өк]
где [γ]-допускаемое значение угла закручивания стержня длиной l.(в радианах)
[Өк]- допускаемое значение относительного угла закручивания единицы длины стержня (рад/м)
Если условие жесткости не выполняется, то необх рассчитать диаметр стержня из проектировочного условия жесткости:
-для круглого сплошного сечения d≥ 4√32 Mк/ π*G*[Өк]
-для круглого трубчатого сечения при заданном соотношении диаметров (внутреннего к наружному) с=d0/d:
d≥ 4√32 Mк/ π*G*[Өк] *(1-с^4).
Расчеты на прочность и жесткость при кручении (стр. 39)
Особенности расчетов на прочность и жесткость при кручении стержней некруглых сплошных (прямоугольных) сечений (стр 40-41)
Особенности расчетов на прочность и жесткость при кручении стержней тонкостенных и замкнутых сечений (стр 41- 43)
Сложное сопротивление стержней. Общие положения. (стр 43)
Определения внутренних силовых факторов и положение нулевой линии при косом и сложном изгибе (стр 43-44)
Напряжение в сечениях стержней при косом изгибе. Положение нулевой линии (стр 44 – 46)
Условия прочности при косом и сложном изгибе (стр 46)
Рациональные формы поперечных сечений и стержней при косом и сложном изгибе (стр 46)