1. Момент импульса вpащающегося, тела относительно оси
L = Jw.
2. Закон сохpанения момента импульса
SL = const.
где L - момент импульса i -го тела, входящего в состав системы. Закон сохpанения момента импульса для двух взаимодействующих тел
J1w1 + J2w2 = J1/w1/ + J2/w2/.
где J1, J2, w1, w2 - моменты инеpции и угловые скоpости
тел до взаимодействия, J1/, J2/, w1/, w2/ - те же величины после
взаимодействия. Закон сохpанения момента импульса для одного тела, момент инеpции, котоpого меняется,
J1w1 = J2w2,
где J1 и J2 - начальный и конечный моменты инеpции, w1 и w2 -
начальная и конечная угловые скоpости тела.
3. Между формулами, описывающими поступательное и вращательное движения есть аналогия:
Поступательное Вращательное
Законы сохранения
Smivi = const; SJiwi = const;
Wk = (mv 2)/2; Wk = (Jw2)/2;
С. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
1. Уравнение гармонических колебаний
x = Acos(wt + j),
где х - смещение точки от положения равновесия; t - время;
А, w, j - соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; (wt + j)- фаза колебания в момент t
2. Угловая частота колебаний w = 2pn, или w = 2p/T,
где n и T - частота и период колебаний.
3. Скорость точки, совершающей гармонические колебания,
v = x/ = - Awsin(wt + j).
4. Ускорение при гармоническом колебании
a = x// = - Aw2cos(wt + j).
5. Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящими по одной прямой, определяется по формуле
А2 = А12 + А22 + 2А1А2сos(j2 - j1),
где А1 и А2 - амплитуды составляющих колебаний; j1 и j2 - их начальные фазы.
6. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки mx// = - kx, или x// + wx = 0,
где m - масса точки; k -коэффициент квазиупругой силы (kw2). 7. Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, W = (mA2w2)/2 = (kA2)/2.
8. Период колебаний тела, подвешенного на пружине
T = 2pÖ(m/k),
где m - масса тела; k - жесткость пружины.
9. Период колебаний математического маятника T = 2pÖ(l/g),
где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения.
10. Период колебаний физического маятника T = 2pÖ(J/mgl).
11. Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити T = 2pÖ(J/k),
где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.
12. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
mx// = - kx - rx/, или x// +2dx/ + w02x = 0,
где r - коэффициент сопротивления; d - коэффициент затухания; d = r/(2m); w0 - cобственная частота колебаний (w0 = Ö(k/m).
13. Уравнение затухающих колебаний x = A0. e-dt.cos(wt + j)
где А0 - начальная аплитуда; w - частота; е - основание натурального логарифма; d - коэффициент затухания.
14. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
mx// = - kx - rx/ + F0.cos(wt), или x// + 2dx/ + w02x = f0.cos(wt).
где F0.cos(wt) - внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся точку и вызывающая вынужденные колебания; F0 - ее амплитудное значение; f0 = F0/m.
Вариант 1.
Кинематика.
А.1. Пуля пущена с начальной скоростью v под углом a к горизонту. Определить максимальную высоту подъема, дальность полета и радиус кривизны траектории пули в ее наивысшей точке.
Динамика.
Б.1. Через блок массой М перекинута невесомая, нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m 1 и m2 . Определить ускорения, с которыми будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе, трением в оси блока пренебречь.
Законы сохранения при прямолинейном движении.
В.1. Тело массой m1 движется навстречу второму телу массой m2 и абсолютно не упруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были v 1 и v 2 . Определить расстояние, пройденное телами после удара, если коэффициент трения μ?
Энергия и работа.
Д.1. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь S и приобрела скорость v. Определить работу силы, если масса вагонетки равна m и коэффициент трения k.
Законы сохранения при вращательном движении.
Е.1. Стержень длиной L и массой M может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня. В середину стержня ударяет пуля массой m 2, летящая в горизонтальном направлении со скоростью v и застревает в нем. На какой угол отклонится стержень после удара?
6. Механические колебания.
С.1. Частица массой m совершает гармонические колебания с циклической частотой ω, по закону x= Asin(ωt). Определить период колебаний и амплитуду колебаний, если максимальная сила, действующая на частицу, равна F. Определить, также кинетическую, потенциальную и полную энергии через время t от начала колебания.
Вариант 2.
Кинематика.
А.2. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением S = А - Bt + Ct2. Найти линейную скорость точки, ее тангенциальное, нормальное и полное ускорения.
Динамика.
Б.2. Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» радиусом R. С какой наименьшей скоростью должен проезжать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?