Раздел2.2 Теорема Пифагора в заданиях первой части геометрия.

Следующий раз с теоремой Пифагора можно встретиться, в заданиях геометрии первой части, например в номере 16. Для подготовки этих задний, я воспользовался сайтом «Решу ОГЭ»

Задание 16.1

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC катет AC = 75, а вы­со­та CH, опу­щен­ная на гипотенузу, равна 9 . Най­ди­те .

 

 

 

Решение:

Из прямоугольного треугольника ACH по теореме Пифагора найдём AH:

Углы ABC и ACH равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому их синусы равны:

Ответ: 0,08.

Задание 16.2

В треугольнике АВС известно, что АС=4, ВС= , угол с равен 90^о. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение:

По теорема Пифагора найдем сторону АВ:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Поэтому 11:2=5,5

Ответ: 5,5

Задание 17.1

К окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, если AB = 14 см, AO = 50 см.

Решение.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора равен 48 см.

 

Ответ: 48.

Задание 17.2

Най­ди­те длину хорды окруж­но­сти ра­ди­у­сом 13 см, если рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.

Решение:

Проведём построение и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники AOH и HOB они прямоугольные, OH - общая, AO и OB равны как радиусы окружности, следовательно, эти треугольники равны, откуда AH=HB=AB:2. По теореме Пифагора найдём длину отрезка AH:

= =3*4=12.

Следовательно, АВ=2АН=2*12=24.

Задание 18.1

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. По теореме Пифагора a ² = 100 − 36 = 64, a = 8, где a — второй катет. Поэтому S=1/2*6*8=24

Ответ: 24.

Задание 18.2

Основания тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сторон равна 6, а тан­генс угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те площадь трапеции.

 

 

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а . Опустим перпендикуляр BH на сторону AD. Найдем синус угла. В прямоугольном треугольнике тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему.

Имеем:

Таким образом, BH=x ,AH=4x, где x — число. По теореме Пифагора гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна:

В прямоугольном треугольнике синус определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Имеем:

Найдем высоту BH:

BH=AB*sinA=6*1/3=2.

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

S=(18+12)/2*2

Ответ: 30.

Задание 19.1

А

С

На ри­сун­ке изображён пря­мо­уголь­ный треугольник. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны треугольника, проведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла.

Решение.

Введем обозначения, как показано на рисунке и проведём медиану треугольника AH. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна 5.(Пифагорова тройка) В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы, т. е. 5: 2 = 2,5.

Ответ: 2,5.

Задание 19.2

На ри­сун­ке изображен па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Ис­поль­зуя рисунок, най­ди­те sin BDC.

Решение.

Синус угла в прямоугольном треугольнике это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Треугольник BDC это прямоугольный, поэтому sin BDC=BC/CD

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы CD:

Тогда

Ответ: 0,6.

Задание 20.1

Укажите но­ме­ра верных утверждений.

1) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го треугольника, то такие тре­уголь­ни­ки подобны.

2) Сумма катетов равна гипотенузе.

3) Любая бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его медианой.

Если утвер­жде­ний несколько, за­пи­ши­те их номера в по­ряд­ке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Сумма катетов равна гипотенузе.» — неверно в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.

3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

Ответ: 1.

Задание 20.2

Укажите но­ме­ра верных утверждений.

1) Бис­сек­три­са равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, про­ти­во­ле­жа­щей основанию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части.

2) В любом пря­мо­уголь­ни­ке диагонали вза­им­но перпендикулярны.

3) В прямоугольном треугольнике, сумма квадратов катетов не превосходит, квадрату гипотенузы.

Если утвер­жде­ний несколько, за­пи­ши­те их номера в по­ряд­ке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части» — верно по свойству равнобедренного треугольника.

2) «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны» — неверно, это утверждение справедливо исключительно для ромба, а не для прямоугольника.

3) «В прямоугольном треугольнике, сумма квадратов катетов не превосходит, квадрату гипотенузы.» — верно, т. к. в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна, квадрату гипотенузы, следовательно, не превосходит.

Ответ: 13.