Задача №1. Линейная парная регрессия.

Контрольная работа

По дисциплине: Эконометрика

 

Работу выполнила

студентка группы 15-ВФК-М

Левченко Яна Александровна

«___» ____________ 2015 г.

 

Работу проверил

к.э.н., доцент

Настин Юрий Яковлевич

«___» ____________ 2015 г.

 

 

Калининград

 

Содержание

1. Задача №1. Линейная парная регрессия. 3

2. Задача №2. Множественный регрессионный анализ. 10

3. Теоретические вопросы.. 19

3.1 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена. 19

3.2 Обобщённый метод наименьших квадратов. 22

Список литературы.. 27

 

 

Задача №1. Линейная парная регрессия.

 

1.1. Нанести в координатах ХY точки на плоскость (построить корреляционное поле).

Решение. Для наглядности выберем наши данные из табл.1. в табл. 3.

Таблица 3

xi
yi

 

На рис. 1 представлено корреляционное поле. Как видно, оно должно хорошо аппроксимироваться прямой линией. Зависимость между Х и Y тесная и прямая.

Рис.1

1.2. Найти методом наименьших квадратов уравнение регрессии Y по Х в линейной форме:

=b0+ b1x.

(1)

Решение. Расчетные формулы для неизвестных параметров регрессии:

 

(2)

На основе табл. 3 рассчитаем необходимые суммы, входящие в формулу (2).

Таблица 4

xi	yi	x2	xiyi	(xi- )2	xi	ei2=( xi-yi)2
					0,06	8,644
					2,42	0,176
					4,78	0,608
					7,14	0,02
					9,5	20,25
					11,86	8,18
					14,22	33,41
						71,29

 

= 5; ȳ = 7,14; = 45,14; ² = 29 (3)

Искомые оценки параметров регрессии и само уравнение регрессии:

b_{1 =} (45,14-(5,7,14))/29-25 = 9,44/4=2,36

b₀ = 4,14-2,26*5=-4,66

= 2,36*5-4,66=11,8-4,66=7,14.

1.3. Построить линию регрессии на координатной плоскости XY.

Решение. Искомую линию проще всего построить по двум точкам (см. рис. 1), например (2; 0,06) и (8,00; 14,22).

1.4. Показать графически и аналитически, что линия регрессии проходит через точку (, ).

Решение. Из графика на рис.1 видно, что линия регрессии проходит через точку “средних” ( =5; =7,14). Проверим это аналитически: =2,36*5-4,66= 7,14, что и требовалось доказать.

1.5. На сколько вырастет средний объем продаж при увеличении х на 1.

Решение. При увеличении торговой площади на 1 (100 м²) в среднем объем продаж увеличится на b₁= 2,36 (т.е. на 23600 руб./день).

1.6. Имеет ли смысл свободный член в уравнении регрессии.

Решение. Свободный член b₀=-4,66 смысла не имеет, т.к. при нулевой торговой площади положительного объема продаж быть не может.

1.7. Вычислить коэффициент корреляции между переменными X и Y.

Решение. Используем формулу:

(4)

Здесь известно все, кроме

S²y= 83,43- 7,14² = 32,45; S_y = 5,70

S²х = 29-25= 4; S_х = 2

Окончательно r_xy = (45,14 – 5*7,14)/5,7*2 = 9,44/11,4 = 0,83

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о высокой (почти функциональной) зависимости объема продаж от размера торговой площади.

1.8. Определить графически и аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина "СИ" с торговой площадью х=11 (напомним, что это 1100 м²).

Решение. Прогнозное значение из рис.1 и из формулы совпадают:

=2,36*11 – 4,66 = 21,3 (213000 руб./день)

1.9, а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж.

Решение. Оценка значения условного МО М_х=11(Y) равна 21,3. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _х=11, нужно оценить дисперсию ее оценки .

Для этого определим дисперсию возмущений (см. табл. 4, графы 4-6):

S^{2 =} 71,29/(7-2) = 14,26; S= 3,78.

Искомая дисперсия

S² _х=11 = 14,26* + = 20,4; S _х=11 = 4,52

Для статистики Стьюдента число степеней свободы k = n – 2 = 7 – 2 = 5. По табл. П2 находим значение t_0,95;5=2,57 критерия Стьюдента. Искомый 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина "СИ":

 

 

Нижнее значение интервала: 21,3-2,57*4,52 = 9,68.

Верхнее значение интервала: 21,3 + 2,57*4,52 = 32,92.

Окончательно интервал имеет вид:

 

9,68 £ M_x(Y) £ 21,3.

1.9, б). Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж _xo=11.

Решение. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _хo=11, нужно оценить ее дисперсию:

 

S² _х=11 =14,26*(1+1/7+36/28)=14,26*2,43=34,65; S _х=11 =5,89.

Нижнее значение интервала: 21,3-2,57×5,89=6,16.

Верхнее значение интервала: 21,3+2,57×5,89=36,44.

Окончательно интервал имеет вид:

6,16 £ £ 36,44.

Как и следует из теории, этот интервал больше предыдущего и большой по величине. Коэффициент осцилляции для него:

К_о=(R/ )100%= ((36,44 – 6,16)/21,3)100%=142%.

1.10, а) Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента регрессии b₁.

Решение. Общая формула для расчета интервала:

b₁-D £ b₁ £ b₁+D,

где D = 2,57*3,78/()=1,84.

Нижнее значение интервала: 2,36-1,84=0,52.

Верхнее значение интервала: 2,36+1,84=4,2.

Окончательно интервал имеет вид:

0,52 £ b₁ £ 4,2.

1.10, б) Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки дисперсии возмущений s².

Решение. Найдем по табл.П3 (критерий Пирсона) табличное значение статистики хи-квадрат:

Формула для доверительного интервала

s²_нижн. = (7*14,26)/13,02 = 7,67; s²_верхн. = 4*14,26/0,75 = 133,1.

7,67≤ Ợ²≤ 133,1

1.11, а) Оценить на уровне a=0,05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Фишера.

Решение. Вычислим суммы квадратов.

Общая сумма:

Q=å(y_i- )²=226,86(см. табл. 4).

Регрессионная сумма:

Q_R=å( _i- )²=155,95(см. табл. 4).

Остаточная сумма: Q_e=å( _i-у)²=71,29 (см. табл. 4).

Значение статистики Фишера:

 

F = 155,95/14,26 = 10,94

 

Уравнение регрессии значимо, если F > F_a,k1,k2, где степени свободы k₁=m-1=2-1=1, k₂=n-m=7-2=5. По табл. П4 находим критическое значение F_0,05;1;5=6,61. Так как 10,94 > 6,61, то уравнение значимо: коэффициент регрессии b₁ =2,36 значимо отличается от нуля.

1.11, б) Оценить на уровне a=0,05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Стьюдента.

Решение. Уравнение парной регрессии значимо, если

 

t = (2,36/3,78) = 3,30.

 

По табл. П2 находим t_0,95;7-2=5=2,57. Так как 3,30 > 2,57, то гипотезу Н_о(Н_о : β₁=0) отвергаем и принимаем противоположную гипотезу Н₁: уравнение значимо.

1.12. Определить коэффициент детерминации R² и раскрыть его смысл: на сколько процентов в среднем объем продаж зависит от размера торговой площади.

Решение. Используем формулу: R²= Q_R/Q = 155,95 / 226,86 = 0,7. R² показывает, какая доля вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Ответ: эта доля составляет 70%.