После того как были получены преобразования Лоренца для координат и времени, следует определить преобразования Лоренца для скоростей и углов.
Если взять дифференциал от преобразований Лоренца для координат и времени, полагая 
. 
Исходя из определения для скорости 
, получаем для проекций скоростей:
Эти выражения есть преобразования Лоренца для скоростей. Убедимся теперь, что в нерелятивистском приближении мы получим вновь преобразования Галилея, пренебрегая выражением 
:
Убедимся также, что преобразования Лоренца для скоростей не приводят к парадоксу как в преобразованиях Галилея:
.
Перейдем теперь к преобразованиям Лоренца для углов. Рассмотрим случай больших скоростей. Пусть в системе 
частица покоится (рис. 1.13). Тогда скорость 
в проекциях на оси 
и 
можно представить как:
То же в системе:
Задача состоит в том, чтобы определить связь между 
и 
, для чего следует определит 
:
.
Будем считать теперь, что 
(это условие определения углов). Тогда
.
Чтобы избавиться от функции , запишем:
.
Откуда можно записать:
Аналогичным образом нетрудно показать, как выглядят преобразования Лоренца для телесного угла:
,
откуда можно напрямую записать, что
, где 
.
§1.5. Кинематические «парадоксы» СТО.
В этом параграфе будут рассмотрены четыре так называемых кинематических парадокса СТО.
Во-первых, рассмотрим «эффект прожектора». Пусть в «ракете», летящей со скоростью порядка скорости света человек светит («фонариком») в направлении перпендикулярном движению «ракеты» (рис. 1.14). Для наблюдателя со стороны 
:
.
Если 
, то ничего необычного наблюдаться не будет. Если же 
, то из предыдущего следует, что 
.
Этот эффект, в частности, наблюдается в современных ускорителях, где скорости электронов достигают скоростей порядка скорости света. В таких ускорителях при 
излучение электрона происходит практически по касательной к траектории, причем угол раствора для излучения электрона составляет секунды (рис. 1.15).
Во-вторых, имеет место эффект аберрации света, который впервые наблюдался Дж. Брадлеем в 1727-1729 гг. Во время годового обращения Земли вокруг Солнца, Брадлей заметил, что не стоят на месте, а движутся по небольшим эллиптическим орбитам. 
- направление движения Земли относительно стороннего наблюдателя в инерциальной системе отсчета. Наблюдатель на Земле увидит звезду 
-Дракона под углом (рис. 1.16).
Обратное преобразование Лоренца для :
.
.
Так как все эти преобразования проводятся для малых углов наблюдения, то справедливо:
.
Если теперь перевести радианы в секунды, то получим (рис. 1.17):
.
Здесь стоит отметить, что Брадлей в своих наблюдениях впервые положил скорость света 
, что было близко к современному значению скорости света.
В качестве третьего примера рассмотрим эффект замедления времени в движущейся системе координат. Пусть некоторая частица находится в начале координат системы и неподвижна относительно этой системы. (рис. 1.18) Тогда ее скорость относительно системы 
будет равна 
. Время, которое отсчитывается по часам в системе , где частица покоится, будем называть собственным временем и обозначать через 
. Время, которое отсчитывается наблюдателем в системе будем тогда называть лабораторным временем и обозначать через 
.
Если записать преобразования координат и времени, то получим:
будем считать, что 
, так как в системе частица покоится. Подставит выражение для 
в первую формулу:
,
что естественно для равномерно и прямолинейно движущейся в -системе частицы.
Из формулы преобразования времени тогда получаем:
.
Эта формула описывает замедление времени: 
. Физический смысл этого выражения заключается в том, что в движущейся системе координат время течет медленнее, чем в неподвижной системе наблюдателя (рис. 1.19). Отметим, что если частица движется с ускорением 
, то для малых отрезков времени это соотношение также будет выполняться и формула будет справедлива:
Если в начальный момент времени 
часы были синхронизированы, то уже через некоторое время движущиеся со скоростью часы будут запаздывать по отношению к неподвижным часам.
Имеется множество прямых и косвенных подтверждений эффекта замедления времени или, как более популярно, эффекта близнецов. Наиболее убедительный способ – с использованием времени жизни космических частиц.
Космические лучи были открыты Гессом в 1912 г. Гесс рассматривал проблему ионизации в воздухе. Он наблюдал изменения в степени ионизации воздуха с высотой. С увеличением высоты ионизация увеличивалась.
Свинцовый ящик, в который был помещен электроскоп, поднимали на различную высоту. Подняв ящик на высоту 1400 метров и открыв его, Гесс он увидел, что листочки электроскопа опали. Чем больше высота, тем больше космических лучей разряжают электроскоп.
Эти лучи состоят в основном из протонов (~90%) и частично из 
-частиц. Время жизни 
-мезона 
. Время жизни 
-мезона 
. У поверхности земли или даже под землей обнаруживаются только -мезоны (рис. 1.20). -мезоны сильно взаимодействуют с атомами атмосферы. Длина пробега 
см. за счет того, что имеет место эффект замедления времени, время жизни у -мезонов увеличивается.
Ашер в 1972 г. проводил опыт с двумя самолетами, на борту которых были установлены сверхточные часы. В результате у самолета, летящего на восток, часы отставали от тех, которые были на земле.
Еще один немаловажный эффект – сокращение продольных размеров движущихся тел. Рассмотрим шар, который движется со скоростью порядка скорости света. Для стороннего наблюдателя этот шар будет выглядеть как диск (рис. 1.21). Рассмотрим опять две системы координат. В системе рассмотрим линейку длиной 
. В системе ее длина будет 
, причем:
.
Запишем преобразования Лоренца для приращений координат и 
:
;
.
и 
должны быть измерены в один и тот же момент лабораторного времени.
;
=>
=> 
.
=> 
.
Таким образом, линейные размеры движущегося тела для стороннего неподвижного наблюдателя уменьшаются в направлении движения при скоростях движения близких к скорости света.
Трехмерный объем, если его выбрать в виде куба с гранью параллельной оси , также будет подвержен продольному сжатию:
.
В данном случае роль сокращающегося отрезка будет играть 
.
Если теперь мы будем рассматривать четырехмерный элемент объема 
, то следует записать:
.
Это означает, что четырехмерный объем является инвариантом для преобразований Лоренца.
§1.6. Ковариантные формы преобразований Лоренца.
Ранее были получены преобразования Лоренца для координат и времени:
, где 
.
Эти формулы не являются ковариантными. Здесь выделены отдельные координаты и время, тогда как ковариантные формы подразумевают отсутствие выделенных координат.
, 
.
- матрица, которая представляет собой коэффициенты преобразования. Эти коэффициенты постоянны.
.
Положим 
:
.
Сравнивая полученное выражение с известным преобразованием Лоренца, определяем соответствующие коэффициенты преобразования :
Положим теперь 
:
.
Соответственно, находим:
Полагая далее 
и 
, получаем, что 
и 
. Все остальные коэффициенты равны нулю. Таким образом, матрица преобразования Лоренца для случая, когда система движется вдоль оси «неподвижной» системы имеет следующий вид:
.
Это – матрица частного преобразования Лоренца. Перепишем ее следующим образом:
.
Если речь идет об обратном преобразовании Лоренца, то вместо матрицы следует использовать обратную матрицу 
:
.
Причем справедливо следующее выражение:
.
Очевидно, что 
, то есть 
:
.
Иначе, матрица удовлетворяет следующему условию:
- единичная матрица.
.
Следует убедиться в правдивости найденных коэффициентов. Для этого должно выполняться 
:
.
Несложно показать, что в случае произвольного преобразования Лоренца матрица преобразования выглядит таким образом:
.
Четырехмерные векторы.
Четырехмерные векторы – совокупность четырех величин, которые при переходе от одной инерционной системы отсчета к другой преобразуется по закону:
, 
.
Четырехмерный вектор скорости определяется как 
, где - собственное время.
, где - обычная Ньютоновская скорость.
, так как 
.
Так же нетрудно показать, что 
:
.
То есть свертка двух четырехмерных векторов есть инвариант. Найдем инвариант, соответствующий четырехмерному вектору скорости:
.
.
Интересно, что в состоянии покоя (при 
) будем иметь:
.
Такие четырехмерные векторы, у которых в системе компонент имеется только временная, называется временеподобными. Другим примером четырехмерных векторов служат пространствоподобные вектора. Таковым, например, является четырехмерный вектор ускорения:
- пространствоподобный вектор.
Найдем его компоненты:
.
Аналогично с радиус-вектором, введем производную по лабораторному времени:
.
Вычислим 
:
.
Подставим это значение в выражение для 
:
.
Фактически, это новый четырехмерный вектор. Перепишем это выражение, объединив 0-компоненты и пространственные компоненты:
.
Наконец, чтобы получить выражение, похожее на Ньютоновское ускорение 
. Для этого внесем 
в квадратные скобки и получим:
=>
=> 
.
Убедиться в его пространствоподобности можно, если рассмотреть в состоянии покоя 
:
=> 
.
Так образом, - пространствоподобный вектор. Можно показать, что четырехмерные вектора скорости 
и ускорения взаимно ортогональны в четырехмерном пространстве: 
. Покажем это:
=> 
=>
=> => они взаимно ортогональны.
Также можно показать, что справедливо 
или иначе 
.
Стоит отметить, что введя понятие четырехмерного вектора, мы определяем преобразования Лоренца для четырехмерного вектора:
.
Запишем преобразования Лоренца для произвольного четырехмерного вектора:
.
Также можно доказать, что 
.
Четырехмерные тензоры.
Все физические величины есть тензоры различных рангов (нулевого, первого, второго и т. д.)
Тензором ранга нуль является такая величина, которая при переходе от одной инерционной системы в другую не претерпевает никаких преобразований (любые константы и инварианты есть тензоры нулевого ранга, например, скорость света).
Тензорами первого ранга являются четырехмерные вектора:
, где 
- тензор I ранга.
Примеры тензоров первого ранга - 
, , .
Тензором второго ранга называется совокупность 16 величин, которые при переходе от одной инерционной системы к другой преобразуются по закону:
.
Запишем тензор 
в общем виде:
.
Тензором ранга 
назовем совокупность 
чисел, преобразующихся по закону:
.
В дальнейшем будем называть тензором любой тензор II ранга, оговаривая особо случаи, когда используются тензоры более высоких рангов. Это обусловлено тем, что тензоры II ранга наиболее употребимы в курсе электродинамики. Итак будем рассматривать тензора II ранга.
Все тензоры делятся на симметричные и несимметричные:
- симметричный тензор
- антисимметричный тензор
Оказывается, что любой тензор можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Запишем произвольный тензор в виде:
.
Здесь, очевидно, первая скобка представляет собой симметричный тензор, а вторая – антисимметричный. Тогда это можно переписать как:
.
В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с антисимметричными тензорами. Нетрудно заметить, что у антисимметричного тензора все диагональные элементы есть нули, так как для любого из них справедливо 
, а следовательно, любой 
. Таким образом, произвольный антисимметричный тензор имеет вид:
.
Еще одним замечательным свойством тензоров такого рода является то, что если взять скалярное произведение (свертку) антисимметричного тензора с двумя одинаковыми векторами, то оно будет равно нулю: 
.
Покажем это:
.
Рассмотрим теперь преобразования Лоренца для конкретных компонент антисимметричного тензора. Рассмотрим для примеру компоненту , 
:
.
Говоря о последнем выражении, стоит вспомнить, что согласно вышеупомянутой метрике 
, при поднятии или опускании индексов 
знак не меняется, и лишь при поднятии или опускании «нулевого» индекса 
знак меняется на противоположный.
Далее несложно найти преобразования для всех остальных компонент. Например, легко показать, что 
.
Тензоры, аналогично векторам, могут быть простраственноподобными и времяподобными. Соответственно, простраственноподобные тензоры есть такие тензоры, у которых компоненты с чисто пространственными индексами не равны нулю. Времяподобными тензорами являются тензоры, у которых не равны нулю компоненты, содержащие «нулевые» индексы.