Если в определении произвольного четырехмерного 
вектора за нулевую компоненту принять скалярный потенциал 
, а за векторную компоненту - трехмерный вектор-потенциал, то мы получим определение четырехмерного вектора-потенциала 
. С помощью этого вектора можно определить тензор напряженностей электромагнитного поля:
.
Из самого определения этого тензора следует, что он антисимметричен. антисимметричные тензоры и их основные свойства были достаточно подробно обсуждены выше. К примеру, мы можем беспрепятственно записать преобразования Лоренца для тензора напряженности, что, собственно, и будет проделано позднее.
Сейчас следует записать компоненты тензора 
. Так как тензор антисимметричен, то сразу можно сказать, что 
и 
. Таким образом, запишем:
.
Здесь 
- напряженность электрического поля, а 
- напряженность магнитного поля. Видно, что тензор состоит из шести взаимно независимых компонент и символически можно записать его как 
.
Оказывается, что все компоненты тензора можно вывести напрямую из его определения, и в результате получим:
Покажем это на примере компоненты 
, 
:
.
Фактически, эта запись означает, что:
- 
-компонента 
.
Из определения: 
. Тогда в общем случае это запишется как:
.
Аналогично можно показать, что формула для 
также напрямую следует из определения :
.
Откуда очевидно:
.
Тогда в общем случае справедливо записать:
.
Таким образом, было показано, что формулы для компонент тензора , выведенные выше, справедливы и следуют напрямую из определения этого тензора.
Также вызывают интерес формулы, сопоставляющие четырехмерные и трехмерные векторы. На самом деле несложно показать, что между ними существует однозначное соответствие:
,
где 
- символ Леви-Чивита, принимающий значения 0, +1 и –1 в зависимости от значений индексов 
, 
и 
.
Для примера найдем -компоненту вектора напряженности магнитного поля 
:
.
Обратная формула имеет вид
.
Покажем теперь с ее помощью, что 
:
.
Иногда в электродинамике используется другой тензор электромагнитного поля, называемый дуальным к основному тензору или дуальным тензором. Дуальный тензор связан с основным следующим соотношением:
.
- тот же символ Леви-Чивита, но в четырехмерном пространстве.
Исходя из определения, дуальный тензор имеет вид:
.
Покажем, что дуальный тензор выглядит именно так. Проверим, например, что для дуального тензора 
:
.
Значит, согласно определению, дуальный тензор выглядит именно таким образом.
Теперь стоит перейти к нахождению преобразований Лоренца для компонент тензора . Собственно, эти преобразования находятся по аналогии с произвольным тензором 
простой заменой 
. К примеру, покажем, как выглядят преобразования Лоренца для 
-компоненты 
:
=> 
.
Для 
-компоненты:
=> 
.
Очевидно, что 
-компонента тензора не изменяется:
=> 
.
Таким образом, преобразования Лоренца выглядят как:
.
Аналогично можно записать преобразования Лоренца для компонент, содержащих нуль-индексы. В результате получим:
.
Также эти формулы можно получить в общем, векторном виде. Например, если перейти к нерелятивистскому приближению, то есть к случаю, когда 
и 
, и пренебречь 
, то можно записать эти формулы в трехмерном векторном виде.
и 
.
Тогда выражения для и выглядят:
Рассмотрим теперь следствия из преобразований Лоренца для напряженностей полей. Оказывается, это очень полезный инструмент для вычисления разного рода физических обстоятельств.
Так, с помощью преобразований Лоренца можно показать, что линии напряженности магнитного поля бесконечно длинного прямого проводника с постоянным током есть концентрические кольца. С одной стороны, это уже показано в курсе общей физики как формально, так и эмпирически, однако в данном случае можно подойти к этому выводу через преобразования Лоренца для магнитного поля (рис. 1.22).
Будем рассматривать ток как движение положительно заряженных частиц. Пусть заряд 
покоится в системе 
. Тогда очевидно:
=> 
согласно формулам преобразования Лоренца. Следовательно, в лабораторной системе поля связаны как: 
.
Вектор направлен по радиус-вектору , а это значит, что направление вектора , являющегося векторным произведением 
на , будет всюду перпендикулярным к , а следовательно, и к радиус-вектору. Такому условию удовлетворяет только один тип кривых – окружности. Линии напряженности магнитного поля в рассмотренном примере есть окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной направлению протекания тока. Более того, стоит отметить, что густота линий напряженности тем больше, чем ближе они к проводнику.
В качестве другого примера применения преобразований Лоренца можно привести так называемый униполярный генератор тока. (Такое его название есть следствие того, что изначально полагали, что это генератор якобы с одним полюсом).
Рассмотрим принцип работы элементарного униполярного генератора на примере прямоугольного магнита, который может двигаться по ползунковым проводящим «рельсам» (рис. 1.23). Магнитное поле этого магнита пусть будет направлено вдоль оси . Во время движения магнита между рельсами возникнет поле , и, если подключить к ним, скажем, гальванометр или амперметр, они покажут наличие электрического тока. Чтобы вычислить это поле. Достаточно только учесть, что 
, а 
. Тогда 
, и поле находится как:
.
По сути, появление тока обусловлено напряженностью .
Примером униполярного генератора может служить массивный цилиндрический магнит, вращающийся вокруг своей оси с достаточно большой частотой. В такой системе напряженность направлена к оси вращения и возникает между осью и внешней поверхностью. Так что, если подключить через скользящие контакты к внешней стороне магнита и оси гальванометр, то он покажет наличие тока.
Для того чтобы обладать достаточной мощностью генераторы такого типа должны иметь большие размеры и вращаться с большими частотами. Так, например, униполярный генератор в Канберре, Австралия, имеющий ЭДС 
, состоит из магнита весом 20 тонн и компенсирующего маховика того же веса, вращающегося в обратную сторону. частота вращения магнита составляет порядка 900 оборотов в минуту.
§1.10. Инварианты электромагнитного поля.
Все тензоры имеют инварианты вида:
.
Это несложно показать. Действительно:
.
В составе электромагнитного поля существуют два тензора - и 
. На них можно построить три инварианта:
.
По сути, первый и третий инварианты означают одно и то же, поэтому рассмотрим два первых взаимно независимых инварианта.
Для начала вычислим первый из них, опуская дословное описание суммирования по каждому из индексов 
и 
:
.
То есть, для первого инварианта можно записать:
.
Аналогично можно вычислить и второй инвариант:
.
Второй инвариант выглядит как:
.
Рассмотрим теперь следствия из факта наличия этих двух инвариантов. В частности, первый из них гласит, что:
,
что означает, что если в одной системе отсчета и равны по модулю, то и в любой другой инерциальной системе отсчета они будут равны по модулю, что соответствует случаю, когда 
. Если же 
больше (меньше) нуля, то это означает, что если в одной системе отсчета 
больше (меньше) 
, то и в любой другой инерциальной системе отсчета 
будет больше (меньше) 
. Может случиться так, что в одной из систем 
, то в другой инерционной системе электрическое поле может быть и не равным нулю, но оно возникнет всегда таким образом, чтобы 
. И, соответственно, наоборот.
Если в одной системе угол векторы и ортогональны, то 
, а согласно второму инварианту и 
. А это значит, что и в любой другой инерциальной системе вектора останутся строго ортогональными. Более того, если в некоторой системе угол между ними острый (тупой) углом, то и в любой другой системе он будет острым (тупым). (Если в одной системе 
, то и в любой другой будет 
.
Глава II. Релятивистская механика.