D. Нахождение обратной матрицы

I. ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР

A. Матрицы. Начальные сведения

Рассматриваем новый математический объект – матрицу. Это абстрактная таблица, состоящая из строк и столбцов вида:

(1)

где – элементы матрицы, стоящие на пересечении -ой строки и -го столбца. Элементы могут быть любой природы (числа, многочлены, функции и др.) При этом говорят, что матрица имеет размерность , и кратко записывают , где , .

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Например, – прямоугольная, а – квадратная матрица.

Элементы , , ,…, образуют главную диагональ в матрице . Если ниже главной диагонали стоят нулевые элементы, то матрица называется треугольной, например


Матрица вида		называется трапециевидной.

Если вне главной диагонали стоят нулевые элементы, то матрица называется диагональной, например


Матрица вида		является единичной.

Матрица, состоящая только из нулевых элементов, называется нулевой матрицей:

Если элементы матрицы, стоящие на симметричных местах относительно главной диагонали совпадают: , то такая матрица называется симметрической.

Например

Матрица вида называется матрицей-строкой, а матрица вида называется – матрицей-столбцом.

B. Операции над матрицами

Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями. Они выполняются по следующим правилам:

1) , где .

2) , где .

Пример 1

2. Умножение матриц выполняется по следующей схеме:

, где .

Заметим, что в левой матрице число столбцов совпадает с числом строк в правой матрице. Только в этом случае операция умножения возможна.

Пример 2

Пример 3

Замечание. В общем случае умножение матриц неперестановочно, т.е. . Однако, можно подобрать две квадратные матрицы, чтобы , в этом случае говорят, что матрицы коммутируют.

Пример 4

, ,

;

Матрицы можно возводить в степень, причем только квадратные, т.е. число столбцов должно соответствовать числу строк.

Рассмотрим еще одну операцию над матрицами – транспонирование. При транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка. Обозначается или . Транспонировать можно матрицы любой размерности.

Пример 5

C. Определители квадратных матриц

Прежде чем ввести операцию обращения матриц , необходимо дать понятие определителя квадратной матрицы. Для квадратной матрицы размера 2×2 определителем является число Δ, получающееся по формуле

(2)

Таким образом, , где – первые три буквы от латинского determinantis (определитель). Так легко получается детерминант 2-го порядка.

Пример 6

Однако для матрицы размера 3×3 определитель строится сложнее:

(3)

Для простоты запоминания пользуются следующими схемами:

первые три суммы	последние три суммы

Схема называется правилом треугольников.

Модифицируем его, т.е. распрямим треугольники.

– схема Саррюса.

(4)

Если квадратная матрица имеет размер 4×4 и выше, то для вычисления ее определителя применяется правило Лапласа:

где:

(5)

т.е. детерминант матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки (или -го столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

При этом – минор (определитель -го порядка), получающийся из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца, – алгебраическое дополнение к элементу .

Заметим, что правило Лапласа позволяет определители -го порядка вычислять через определители -го порядка.

Пример 7

Замечание. Если определитель матрицы приведен к треугольному виду

то его значение равно произведению элементов, стоящих по главной диагонали, т.е. . Это автоматически следует из правила Лапласа.

Отметим элементарные преобразования (Э.П.) над строками определителя, которые не меняют его значения:

2.3. вынесение общего множителя строки за знак определителя;

2.4. прибавление к одной строке элементов другой строки;

2.5. прибавление к одной строке элементов другой, умноженных на некоторое число.

Пример 8

+ =

Замечание 1. Такие же Э.П. можно выполнять и над столбцами определителя.

Замечание 2. Определитель

и называется определителем Вандермонда.

Студентам предлагается доказать это самостоятельно.

d. Нахождение обратной матрицы

Теперь можно перейти к обращению квадратных матриц. В этом случае должен быть отличным от нуля, и матрица является невырожденной. Для такой матрицы существует обратная матрица , причем дает единичную матрицу. Легко показать, что обратная матрица имеет вид: