H. Метод Жордановых исключений

 

В основе метода Жордановых исключений лежат элементарные преобразования типа Гаусса, с помощью которых приводим матрицу системы к единичной . Тогда расширенная матрица СЛАУ

примет вид:

.

Автоматически получим решение СЛАУ: (см. пример 11).

 

При решении СЛАУ методом Жордановых исключений удобно расширенную матрицу системы записывать в виде следующей таблицы:

 

 

i. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли

 

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом этой матрицы и обозначается . Для вычисления ранга матрицы применяем метод окаймляющих миноров.

 

Например, задана матрица

Находим ее окаймляющие миноры:

; ; .

Окаймляющий минор 3-го порядка равен нулю, следовательно ранг равен порядку предыдущего минора , т. е. .

Замечание. Минор порядка , содержащий в себе минор порядка , называется окаймляющим минором . Если у матрицы найдется минор , а все окаймляющие его миноры , то .

Рассмотрим произвольную систему вида (16)

Основная матрица этой системы , а расширенная , где _, . Система (16) будет совместной (т.е. будет иметь решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы этой системы, т.е.

 

.

 

Это и есть теорема Кронекера–Капелли.

Для ранга системы возможны два случая:

1) если общий ранг равен числу неизвестных , то система (16) будет иметь единственное решение;

2) если , то система (16) будет иметь бесконечное число решений.

Если же , то система (16) несовместна, т.е. не имеет решений.

 

Пример 11

Выяснить совместность системы и найти ее решение.

Решение

Система является переопределенной: число уравнений больше числа неизвестных . Запишем основную и расширенную матрицы системы:

и

Методом окаймляющих миноров найдем ранги этих матриц:

, , .

Так как основная матрица не имеет минора 4-го порядка, то ее ранг равен 3, т.е. .

Для расширенной матрицы считаем окаймляющий минор:

.

Следовательно, ранг расширенной матрицы равен 3, т.е. . Тогда, по теореме Кронекера–Капелли, исходная система имеет единственное решение, т.к. .

Найдем это решение методом Жордановых исключений:

+ ~ ~

 

~ + ~ – + ~ ~

 

~

Ответ: система имеет единственное решение .

 

J. Однородные системы

 

Система вида

, (17)

где _, называется однородной. Она всегда совместна, поскольку набор значений неизвестных удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение называется тривиальным, в остальных случаях:

1. однородная система будет иметь ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных;

2. если в однородной системе число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевое решение;

3. однородная система, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю;

4. пусть наборы и являются решениями однородной системы, тогда их линейная комбинация – также решение однородной системы (17).

Из числа решений однородной системы (17) всегда можно построить конечную линейно независимую систему решений, причем такую, что всякое другое решение системы (17) будет линейной комбинацией решений, входящих в эту построенную систему. Такую систему решений называют фундаментальной.

 

Теорема 2. Если ранг , то всякая фундаментальная система решений однородной системы (17) будет состоять из решений.

 

Пример 12

Построить фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Решение

Выясним ранг системы, т.е. запишем матрицу

и вычислим миноры:

; ;

;

.

Следовательно, ранг системы равен 2, т.е. . А значит, система имеет ненулевые решения и, по теореме 2 фундаментальная система решений будет состоять из линейно независимых решений. При этом базисный минор и тогда однородная система равносильна системе из 2-х уравнений:

где и (при базисном миноре) являются основными (или базисными) переменными, а и – свободными, принимающими любые действительные значения.

По формуле Крамера находим и , где ,

, .

Получаем решение исходной однородной системы в виде

; , где . Полагаем для свободных переменных и и находим 2 линейно независимых решения: и .

 

Все решения однородной системы получаются как линейная комбинация: ; – любые действительные числа.

Замечание. Геометрически полученное решение в 4-х мерном пространстве изображается 2-х мерной плоскостью, т.к. ее параметрические уравнения имеют вид:

, , , где .