Пусть задано уравнение
 ,
| (8) |
где матрица 
квадратная с 
. Тогда умножим слева заданное равенство на 
и получим
или
| (9) |
Заметим, что если размерность матрицы  есть  , то искомая матрица  имеет такую же размерность, что и , поскольку
|
 
|
| Аналогично решается уравнение |
 
|
при этом
| (10) |
.
Пример 10
Решить матричное уравнение
.
Решение
Имеем уравнение 
, где 
, 
. Находим 
, тогда 
.
Вычислим алгебраические дополнения матрицы :
Таким образом, 
.
Сделаем проверку: 
.
Искомое решение: 
.
Проверить, что 
дает матрицу .
F. Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом и по правилу Крамера
Пусть задана система вида:
| (11) |
Запишем квадратную матрицу системы размерности 
:
, матрицу-столбец из неизвестных 
, и матрицу-столбец из свободных коэффициентов 
.
В этих обозначениях система (11) примет вид:
| .
| (12) |
Если 
, то решение матричного уравнения (12) следующее:
 .
| (13) |
Заметим, что 
, т.е. 
– матрица такой же размерности, что и . Формула для обратной матрицы 
.
Решение:
.
Тем самым мы получили формулы Крамера:
 .
| (14) |
для СЛАУ (11), где главный определитель системы 
, а 
– вспомогательные определители (получающиеся из главного заменой 
-го столбца на столбец из свободных коэффициентов). Например
можно обозначить 
.
Теорема 1 (Крамера).
СЛАУ (11) можно привести к виду:
 .
| (15) |
Тогда возможны три случая:
Если главный определитель 
, то система (11) имеет единственное решение:
, где 
.
Если 
, а хотя бы один 
, то система не совместна (решений не имеет), поскольку имеется противоречивое уравнение 
.
Если и все 
, то система имеет бесконечное число решений.
|
|
G. Метод Гаусса
Для систем произвольного вида
 , где 
| (16) |
(прямоугольных), где число уравнений не совпадает с числом неизвестных, применяется общий метод последовательного исключения (МПИ) неизвестных, основанный на элементарных преобразованиях типа:
умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число;
прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число, отличное от нуля;
перестановка местами двух уравнений системы.
Такие преобразования системы не изменяют множество ее решений и называются преобразованиями типа Гаусса. Заметим, что, выполняя преобразования 1–3 над уравнениями системы, соответствующие элементарные преобразования производятся над строками расширенной матрицы системы:
.
Поэтому на практике экономичней проводить МПИ в матричной форме. После конечного числа шагов элементарных преобразований приходим к матрицам вида:
| а) | 
| или | б) | 
|
В случае а) система примет треугольную форму и будет иметь единственное решение, а в случае б) система примет трапециевидную форму 
и будет иметь множество решений.
Заметим, что если на некотором шаге появится строка 
, 
, то система будет несовместной, т.е. не будет иметь решений.
Нахождение неизвестных 
из преобразованной (треугольной или трапецевидной) системы идет снизу вверх и называется обратным ходом в методе Гаусса.