Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей:
.
Решение
Для удобства преобразований поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, после чего поставим перед определителем знак минус (т. к. при перестановке строк местами определитель меняет знак):
.
Преобразуем данный определитель так, чтобы в первом столбце все элементы, кроме одного, обратились в ноль; 1-ю строку умножим на (-2) и сложим со 2-й и 3-й строками, затем 1-ю строку умножим на (-3) и сложим с 4-й:
.
Раскладывая определитель по элементам первого столбца, получим:
.
Из 3-й строки вынесем общий множитель за знак определителя и поменяем местами 1-ю и 3-ю строки:
.
1-ю строку умножим на 2, сложим со 2-й; затем 1-ю строку умножим на 4, сложим с 3-й:
.
Разложим определитель по первому столбцу:
.
Из обеих строк определителя вынесем общие множители и вычислим его:
.
Итак, 
.
Найти обратную матрицу и сделать проверку:
.
Решение
Вычислим определитель данной матрицы (разложим по первой строке):
,
следовательно, обратная матрица 
существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
 ,
|  ,
|  ,
|
 ,
|  ,
|  ,
|
 ,
|  ,
|  .
|
Составим матрицу 
, состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:
.
Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:
.
Проверка
.
Решить матричное уравнение:
.
Решение
Матричное уравнение задано в виде 
. Следовательно,
,
,
.
Найдем матрицу, обратную к матрице A.
следовательно, обратная матрица существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
 ,
|  ,
|  ,
|
 ,
|  ,
|  ,
|
 ,
|  ,
|  .
|
Составим матрицу 
, состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:
.
Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:
.
.
Искомая матрица имеет вид:
|
|
.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение
Вычислим определитель системы:
.
Вычислим определители 
, в которых вместо первого, второго и третьего столбцов соответственно стоит столбец из свободных членов:
 ,
|  ,
|  .
|
Найдем значения неизвестных 
:
 ,
|  ,
|  .
|
Итак, 
, 
, 
.
Решить систему линейных уравнений матричным методом:
Решение
Перепишем систему уравнений в виде матричного уравнения:
, где 
, 
, 
.
Имеем:
,
,
.
Найдем матрицу, обратную к матрице A:
,
следовательно, обратная матрица существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
 ,
|  ,
|  ,
|
 ,
|  ,
|  ,
|
 ,
|  ,
|  .
|
Составим матрицу , состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:
.
Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:
.
.
Итак, 
, 
, 
.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение
Вычислим определитель системы:
.
Следовательно, система совместна и имеет единственное решение.
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду.
~ 
+ 
+
~ 
~ 
+ ~ 
.
Из полученной матрицы составим систему линейных уравнений и найдем неизвестные с помощью обратного хода Гаусса:
Отсюда: 
Ответ: 
, 
, 
.
Решить систему линейных уравнений методом Жордановых исключений:
Решение
Составим таблицу коэффициентов системы и преобразуем ее так, чтобы на ее главной диагонали стояли только единицы, а все остальные элементы были равны нулю.
| 
| 
| 
| 
|
| –2 | ||||
| –2 | –2 | –5 | ||
| –4 | –5 | |||
| –1 | –1 | –3 | ||
| 1/3 | –2/3 | 1/3 | 22/3 | |
| 11/3 | –10/3 | 20/3 | 29/3 | |
| 11/3 | 5/3 | –13/3 | –37/3 | |
| –2/3 | –11/3 | 16/3 | 34/3 | |
| –4/11 | –3/11 | 71/11 | ||
| –10/11 | 20/11 | 29/11 | ||
| –11 | –22 | |||
| –47/11 | 72/11 | 144/11 | ||
| –59/55 | 267/55 | |||
| –2/11 | –15/11 | |||
| –11/5 | –22/5 | |||
| –157/55 | –314/55 | |||
Из таблицы имеем:
|
|
Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы однородных линейных уравнений:
Решение
Запишем матрицу системы и преобразуем ее к ступенчатому виду:
~ 
~ 
~ 
.
Ранг матрицы равен 
, значит фундаментальная система решений состоит из 
решений. Перепишем преобразованную систему:
где 
– базисные неизвестные, 
– свободные неизвестные.
Введем обозначения 
и запишем общее решение системы:
где 
и 
– произвольные постоянные.
Придадим произвольным постоянным 
и 
последовательно значения 
и 
соответственно, получим:
и 
– фундаментальная система решений.
Найти матрицу линейного оператора A в базисе 
, если в стандартном базисе 
матрица линейного оператора А имеет вид:
.
Решение
Матрицы 
и 
линейного оператора A связаны соотношением 
, где C – матрица перехода от базиса 
к базису 
, она имеет вид:
, 
.
Подставим матрицы 
, 
, 
в соотношение
.
Итак, 
.