Определение коэффициента ранговой корреляции

Наиболее известным показателем связи является ранговый ко­эффициент корреляции Спирмена, определяемый по следующей формуле:

где Σ^- знак суммирования; d - разность между рангами рассматриваемых признаков; п - общее число наблюдений (парных).

Чтобы выяснить, существует ли связь между двумя при­знаками (свойствами), нужно ранжировать их значения и по­смотреть, как они располагаются по отношению друг к другу. Если возрастающим значениям одного признака соответству­ют однохарактерные значения другого признака, то между ними налицо положительная связь. Если же при возрастании одного признака значения другого последовательно убывают, то это свидетельствует о наличии отрицательной связи меж­ду ними. При ранговой корреляции сравнивают не сами зна­чения измерений или числа измерений, а только порядок (ранги), поэтому вычисление рангового коэффициента воз­можно только тогда, когда результаты измерений получены на основе шкалы не ниже порядковой (например, баллы или другие условные единицы измерения). Ранговый коэффици­ент не рекомендуется применять, если связанных пар меньше 5 и больше 20.

Технику вычисления рангового коэффициента легко усво­ить на конкретном примере. Допустим, что из двух рядов из­мерений мы получили следующие значения:

Для того чтобы вычислить ранговый коэффициент по приведенной выше формуле, необходимо произвести предварительные расчеты (табл. 33).

Таблица 33.

п = 10 Σ d²_i =48,50

Для вычисления необходимых данных следует:

1. Произвести ранжирование показателей признака А в убы­вающем (возрастающем) порядке и расставить испытуемых в порядке убывания (возрастания) этого признака - 1-я, 2-я ко­лонки таблицы.

2. Рядом со значениями признака А для каждого испытуемого проставить значения показателей признака Б - 3-я колонка таб­лицы.

3. По каждому признаку проставить ранговые числа. При одинаковых значениях (например, 110 и 110 по признаку Б) об­щим для них будет среднеарифметический ранг 3,5 - 4-я и 5-я колонки таблицы.

4. Вычислить разность рангов (d = A₁-Б₁) с сохранением со­ответствующего знака - 6-я колонка.

5. Возвести разность рангов в квадрат (d²) - 7-я колонка.

6. Вычислить сумму квадратов разности рангов (Σd²_i).

7. Полученные таким образом значения подставить в из­вестную формулу и вычислить коэффициент ранговой корре­ляции:

Вычисленное значение коэффициентов ранговой корреля­ции в данном случае свидетельствует о наличии между призна­ками А и Б сильной положительной связи. Однако необходимо проверить, насколько достоверно значение рассчитанного на­ми коэффициента корреляции. Для этого сравним его с крити­ческим значением. Если вычисленный коэффициент ранговой корреляции превышает значение критического (r_{р фак} > r_{р крит}), то наличие связи считается достоверным, и наоборот. По таб­лице 34, в которой приведены критические зна­чения r_р для различных чисел парных наблюдений (п) и двух уровней значимости (Р = 0,05 и Р — 0,01), находим критическое значение для п = 10. Оно равно 0,564 при уровне значимости 0,05 и 0,746 при уровне значимости 0,01. Следовательно, вы­численный нами коэффициент превышает критическое значе­ние при уровне значимости 0,05 (0,707 > 0,564) и проявление связи между признаками А и Б можно считать достоверным (r_р= 0,707 при Р < 0,05).

Таблица 34 - Критические значения коэффициента корреляции.