К кинематическим характеристикам твердого тела, вращаю-щегося вокруг (около) неподвижного полюса, относятся угловая скорость и угловое ускорение
. Угловой скоростью вращения твердого тела вокруг (около) неподвижного полюса называется векторная физическая величина, изображаемая закрепленным вектором, имеющим начало в неподвижном полюсе, и полностью характеризующая вращение данного тела вокруг (около) этого полюса. В проекциях на оси ротации, прецессии и нутации (рис. 2.2) угловая скорость записывается в виде
,
где – угловая скорость ротации или собственного вращения;
– угловая скорость прецессии;
– угловая скорость нутации;
– орты осей
(ротации),
(прецессии),
(нутации), соответственно.
П р и м е ч а н и е: – орты неподвижной системы координат Oxyz,
- орты связанной системы координат Oξηζ.
![]() |
Рис. 2.2
Величина и направление угловой скорости определяются по алгебраическим величинам ее проекций на оси:
- неподвижной системы координат Oxyz:
;
; (2.1)
;
- связанной системы координат Oξηζ:
;
;
.
Величина угловой скорости
,
ее направление в системе координат Oxyz определяется направ-ляющими косинусами:
,
,
(аналогично определяется направление в системе координат Oξηζ).
Ось, проходящая через неподвижный полюс и коллинеарная с вектором угловой скорости твердого тела, называется мгновенной осью вращения твердого тела. Уравнение мгновенной оси вращения в системе координат Oxyz
,
в системе координат Oξηζ
.
Коническая поверхность с вершиной в неподвижной точке, представляющая геометрическое место мгновенных осей враще-ния в неподвижной системе координат Oxyz, называется непод-вижным аксоидом, в подвижной системе координат Oξηζ – подвижным аксоидом.
Угловым ускорением твердого тела, вращающегося около неподвижного полюса, называется векторная физическая вели-
чина, изображаемая закрепленным вектором, имеющим начало
в этом полюсе, и характеризующая изменение угловой скорости
в данный момент времени как по величине, так и по направле-
нию.
Вектор углового ускорения тела определяется как первая производная вектора угловой скорости по времени: .
Величина и направление углового ускорения могут быть
найдены через алгебраические величины проекций на оси коорди-
нат:
,
,
,
здесь определяются по формулам (2.1):
,
направление вектора определяется направляющими косинусами углов:
,
,
.
П р и м е ч а н и е. Аналогично можно было бы определить .
Частный случай – регулярная прецессия – вращение твердого тела около неподвижного полюса, при котором во все время движения остаются постоянными угол нутации и величины угловых скоростей прецессии (
) и собственного вращения (ротации) (
):
,
,
.
В этом случае абсолютная величина угловой скорости
и вектор во все время движения находится в плоскости нутации xOξ (рис. 2.3).
Угловое ускорение определяется формулой
, (2.2)
![]() |
а его линия действия во все время движения твердого тела будет совпадать с линией узлов (осью нутации)

Рис. 2.3