Порядок выполнения задания

Задача сформулирована отдельно для каждого варианта, чертежи к задачам помещены на схемах, необходимые данные –
в таблице «Исходные данные», с. 33-36 (кроме вариантов, отмеченных звездочкой, с №№ 14, 15, 18, 19, 20, которые содержат исходные данные в условии задачи). Во всех вариантах рассматривается регулярная прецессия твердого тела.

1. Найти неподвижную точку вращения тела, выбираемую за начало отсчета неподвижной (инерциальной) и связанной коорди-натных систем. Выбрать оси прецессии , ротации .

2. Определить угловые скорости нутации, прецессии, ротации, мгновенную угловую скорость и мгновенную ось вращения . В зависимости от движения твёрдого тела вектор можно найти двумя путями: 1) определением по ее составляющим (2.1);
2) использованием мгновенной оси вращения.

По известной скорости какой-либо точки М твердого тела и положению оси найти величину , где - кратчайшее расстояние от точки М до мгновенной оси .

3. Определить угловое ускорение твердого тела. Как известно, , где точка k – конец вектора . В случае регулярной прецессии является закрепленным в точке О векто-ром и определяется по формуле (2.2).

4. Определить скорости произвольных точек твёрдого тела по формуле (2.3).

5. Определить ускорения произвольных точек твёрдого тела. Ускорение любой точки твёрдого тела определить по формуле , где осестремительное ускорение определяется по (2.4), а его величина , вращательное ускорение - по (2.5), его величина

Так как всегда направлено по к оси , можно не пользоваться векторной формой для . Наоборот, следует находить только в векторной форме.

Поскольку при вращении около полюса (в отличие от вращения около неподвижной оси) не коллинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами. Поэтому следует находить после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет определяться по (2.6).

Для точек, лежащих на оси ротации твёрдого тела, справедливы и следующие зависимости:

и ,

где - нормальное ускорение; - касательное ускорение; при регулярной прецессии ; - кратчайшее расстояние от точки, лежащей на оси ротации, до оси прецессии .

Задание выполняется с приведением эскизных чертежей. Величины, приводимые в таблицах «Исходные данные», считаются точными. Все векторы, лежащие в плоскости xOy (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление других векторов должно быть указано в тексте.

Варианты заданий (условия задач)

Вариант 1.

Прямой круговой конус с углом 2α при вершине катится по плоскости без скольжения таким образом, что ускорение точки С – центра основания конуса – направлено по нормали к ее траектории и равно постоянной величине . Высота конуса .

Определить:

1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии, ротации и мгновенной угловой скорости на оси , , соответственно;

2) угловое ускорение конуса;

3) скорости точек А, В и С;

4) ускорения точек А и В (чему равен , составленный векторами ).

Вариант 2.

Прямой круговой усеченный конус катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости. Высота конуса , радиусы большого и малого оснований равны R и r.

Движение конуса происходит так, что скорость центра большего основания постоянна и равна .

Определить:

2) алгебраическую величину проекции углового ускорения на ось ;

3) скорости точек А и В;

4) ускорения точек В и С.

Вариант 3.

Прямой круговой конус с углом 2α при вершине катится без скольжения по неподвижной плоскости, делая n оборотов в минуту около вертикальной оси . Высота конуса .

Определить:

1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси и соответственно, а также мгновенную угловую скорость конуса;

2) угловое ускорение конуса;

3) скорости точек В и С;

4) ускорение точки В, а также осестремительное и вращатель-ное, нормальное и касательное ускорения точки С.

Вариант 4.

Конус 1 с углом 2α при вершине катится без скольжения
по неподвижному конусу 2 с углом 2β при вершине. Высота конуса . Движение конуса происходит так, что осестремительное ускорение центра С основания конуса
постоянно и равно .

Определить:

1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси и , соответственно, и мгновенную угловую скорость конуса;

2) угловое ускорение конуса;

3) скорость точки В;

4) ускорения точек В и С (найти вращательное, а также нормальное и касательное ускорения точки С).

Вариант 5.

Конус 1 с углом 2α при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2β при вершине так, что скорость точки С центра основания конуса постоянна и равна , в данный момент времени. Высота конуса .

Определить:

1) угловую скорость прецессии, нутации и ротации и мгновенную угловую скорость конуса 1;

2) угловое ускорение конуса;

3) скорости точек А и В;

4) ускорения точек А и С (найти нормальное и осестреми-тельное ускорения точки С).

Вариант 6.

Прямой круговой конус 1 с углом 2α при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2, обегая его n раз в минуту. Угол при вершине неподвижного конуса равен 2β, радиус основания конуса 1 равен R.

Определить:

1) угловые скорости прецессии, нутации, ротации и мгновенную угловую скорость конуса 1;

2) алгебраическую величину проекции углового ускорения конуса на ось в данный момент времени;

3) скорости точек В и С;

4) ускорение точки С – центра основания конуса. Указать нормальную и касательную составляющие, а также вращательное и осестремительное ускорения точки С. Какой угол γ составляют между собой и ?

Вариант 7.

Конус 1 с углом 2α при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2β при вершине, совершая за время Т один оборот вокруг вертикальной оси против часовой стрелки. Высота конуса .

Определить:

1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси и соответственно и мгновенную угловую скорость конуса;

2) угловое ускорение конуса;

3) скорость точки В;

4) полное ускорение точки А; вращательное и осестремительное ускорения точки С; какой угол составляют между собой эти векторы?

Вариант 8.

Прямой круговой конус 1 высотой с углом при вершине 2α равномерно катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом при вершине 2β. Вращательное ускорение центра основания конуса .

Определить:

1) угловое ускорение конуса;

2) угловые скорости прецессии и ротации и мгновенную угловую скорость конуса;

3) скорости точек В и С;

4) осестремительное и полное ускорение точки С, а также касательную и нормальную составляющие ускорения этой точки.

Вариант 9.

Прямой круговой конус 1 высотой с углом при вершине 2α равномерно катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом при вершине 2β. Ускорение точки М конуса, лежащей на середине его образующей, равно: .

Определить:

1) угловое ускорение конуса;

2) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость конуса;

3) скорости точек С и В;

4) ускорение точки С и точки N, лежащей на середине обра-зующей ОВ.

Вариант 10.

Прямой круговой конус 1 с углом при вершине 2α и радиусом основания R перекатывается без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом при вершине 2β. Подвижный конус совершает n оборотов в минуту вокруг своей оси симметрии .

Определить:

1) угловые скорости прецессии, нутации и мгновенную угловую скорость конуса;

2) угловое ускорение конуса;

3) скорости точек В и С;

4) вращательное, осестремительное и полное ускорения точки С, а также ее касательное и нормальное ускорения; ускорение точки А.

Вариант 11.

Прямой круговой конус 1 с углом при вершине 2α и радиусом основания R перекатывается без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом при вершине 2β. Центр основания конуса С описывает полную окружность 90/π раз в минуту.

Для данного положения конуса (сечение OAB совпадает с плоскостью Oxy) и указанного стрелкой направления его движения определить и построить на чертеже:

1) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость конуса;

2) угловое ускорение конуса;

3) скорости точек A и B;

4) ускорение точки С (указать нормальную и касательную составляющие, а также вращательное и осестремительное ускорения точки С). Определить угол γ, который составляют между собой и .

Вариант 12.

Прямой круговой конус 1 высотой с углом 2α при вершине равномерно катится без скольжения по внутренней поверхности конуса 2 с углом 2β при вершине. Ускорение точки М, лежащей на половине образующей ОА, равно: .

Определить:

1) Угловые скорости прецессии, нутации, ротации и мгновенную угловую скорость конуса;

2) Угловое ускорение конуса;

3) Скорости точек А, В и С;

4) Ускорения точек В и С.

Вариант 13.

Прямой круговой конус 1 с углом 2α при вершине и радиусом основания R катится без скольжения по внутренней поверхности неподвижного конуса 2 с углом 2β при вершине. Скорость точки С основания конуса постоянна и равна ; в данный момент времени.

Определить:

2) угловое ускорение конуса;

3) скорость точки В;

4) ускорение точки А;

5) ускорение точки N, лежащей на середине образующей ОВ конуса. Под каким углом γ к образующей конуса ОВ направлен вектор ?

Вариант 14.

Конический каток равномерно вращается вокруг полюса О так, что точка С описывает окружность со скоростью = 2 м/с. Размеры катка: ОС = СА = СВ = 2 м, СK = KM = KN = 1 м.

Для данного положения катка (сечение MABN совпадает с плоскостью Oxy) и указанного стрелкой направления его движения определить и построить на чертеже:

1) угол нутации, угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость катка;

2) угловое ускорение катка;

3) скорости точек A и B;

4) ускорение точек N и C (найти также вращательную и осестремительную, нормальную и касательную составляющие ускорения точки С).

Вариант 15.

Конический каток равномерно вращается вокруг полюса О так, что точка C описывает окружность за π с. Размеры катка: OC = CA = CB = 2 м, CK = KM = KN = 1 м.

1) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость катка.

2) угловое ускорение катка.

3) скорости точек В и N.

4) ускорения точек M и C (найти также вращательную и нормальную составляющие ускорения точки С).

Вариант 16.

Коническая зубчатая шестерня радиуса r, находясь в зацеплении с плоской неподвижной шестерней радиуса R, движется таким образом, что величина ускорения центра С шестерни постоянна и равна .

Определить:

1) угловые скорости прецессии, ротации, нутации и мгновенную угловую скорость шестерни;

2) угловое ускорение шестерни;

3) скорости точек А, В и С;

4) ускорения точек А и В.

Вариант 17.

Кривошип ОС равномерно вращается против часовой стрелки около вертикальной оси , делая n оборотов в минуту. В точке С на него свободно насажена коническая шестерня радиуса r, перекатывающаяся по зубчатому основанию радиуса R.

Пренебрегая высотой зубьев, определить:

1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии, ротации и мгновенной угловой скорости шестерни на оси , и соответственно;

2) угловое ускорение шестерни;

3) скорости точек А и В;

4) ускорения точек С и В.

Вариант 18.

Конический каток равномерно вращается вокруг полюса О, имея скорость в центре основания конуса в точке С = 2 м/с. Размеры конуса: ОС = СА = СВ = 2 м, СK = KM = KN = 1 м.

1) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость катка;

2) угловое ускорение катка;

3) скорости точек B и K;

4) ускорение точек M и С.

Вариант 19.

1) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость катка;

2) угловое ускорение катка;

3) скорости точек N и B;

4) ускорения точек B и C (указать величины составляющих ускорений точки С: , ).

Вариант 20.

Конический каток равномерно вращается вокруг полюса О, имея скорость в центре С основания конуса = 2 м/с. Размеры конуса: OC = CA = CB = 2 м, CK = KM = KN = 1 м.

1) угловые скорости прецессии, ротации, нутации и мгновенную угловую скорость катка;

2) угловое ускорение катка;

3) скорости точек N и C;

4) ускорения точек B и C.

Исходные данные

№ вар	2α	2β	h	r	R	v_С	w ₁	n	T
град	м	м/с	м/с²	об/мин	с
		-	0,12	-	-	-	0,	-	-
	-	0,12	-	-	-	0,	-	-
	-	0,10	-	-	-	0,	-	-

№ вар.	2α	2β	h	r	R	v_C	w ₁	n	T
град	м	м/с	м/с²	об/мин	с
	-	-	0,40	0,40	0,80	2,00	-	-	-
-	-	0,	0,30	0,50		-	-	-
-	-	0,50	0,50	1,00	1,00	-	-	-
		-	0,20	-	-	-	-		-
	-	0,40	-	-	-	-		-
	-	0,30	-	-	-	-		-
			0,18	-	-	-	0,36	-	-
		0,16	-	-	-	0,32	-	-
		0,15	-	-	-	0,30	-	-
			0,10	-	-	0,20	-	-	-
		0.15	-	-	0,45	-	-	-
		0,20	-	-	0,80	-	-	-
			-	-	0,30	-	-	30/π	-
		-	-	0,25	-	-	60/π	-
		-	-	0,20	-	-	90/π	-
			0,20	-	-	-	-	-
		0,30	-	-	-	-	-
		0,40	-	-	-	-	-

№ вар.	2α	2β	h	r	R	V_C	w ₁	n	T
град	м	м/с	м/с²	об/мин	с
			0,12	-	-	-	0,	-	-
		0,16	-	-	-	0,	-	-
		0,20	-	-	-	0,	-	-
			0,12	-	-	-	0,48	-	-
		0,16	-	-	-	0,72	-	-
		0,20	-	-	-	0,80	-	-
			-	-	0,18	-	-		-
		-	-	0,24	-	-		-
		-	-	0,30	-	-		-
			-	-	0,10	0,30	-	-	-
		-	-	0,12	0,36	-	-	-
		-	-	0,14	0,42	-	-	-
			0,12	-	-	-	0,24	-	-
		0,15	-	-	-	0,30	-	-
		0,18				0,36		-
			-	-	0,12	0,	-	-	-
		-	-	0,15	0,	-	-	-
		-	-	0,18	0,	-	-	-
14*	-
-								-
-								-
15*	-								-
-
-						-	-	-

№ вар.	2α	2β	h	r	R	v_C	w ₁	n	T
град	м	м/с	м/с²	об/мин	с
				0,20	0,40	-	0,90	-	-
-	-	-	0,30	0,60	-	1,20	-	-
-	-	-	0,20	0,	-	0,60	-	-
	-	-	-	0,10	0,	-	-		-
-	-	-	0,15	0,	-	-		-
-	-	-	0,20	0,	-	-		-
18*


19*


20*

Рисунки к вариантам 1-20

Стр. 37-41

П р и м е р. Конус 1 с углом 2a при вершине катится без скольжения (в указанном стрелкой направлении) по неподвижному конусу с углом 2b при вершине. Высота конуса 1 OC = h. Движение конуса происходит так, что осестремительное ускорение центра С основания конуса

постоянно и равно

. Исходные данные - в таблице и на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Определить:

1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси , и соответственно и мгновенную угловую скорость конуса;

2) угловое ускорение конуса;

3) скорость точки В;

4) ускорение точек В и С (найти вращательное, а также нормальное и касательное ускорения точки С).

Исходные данные: 0,36 м/с².

Решение. Осестремительное ускорение точки С определяется по формуле (2.4) , а модуль вектора , где w - мгновенная угловая скорость конуса, а - расстояние по перпендикуляру от точки С до мгновенной оси вращения конуса , (pис. 2.6). На рисунке .

Рис. 2.6

Тогда можно определить

, .

Стрелка на pис. 2.6 указывает, что вращение конуса 1 происходит по ходу часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси прецессии , поэтому противоположна по направлению оси .

2. Далее по теореме синусов для векторного треугольника OMP (см. рис. 2.6) можно записать:

. (2.7)

Векторный треугольник построен так, что (оси прецессии), а (оси ротации), (мгновенной оси вращения).

Из (2.7)

Определили угловые скорости прецессии и ротации , соответственно, причем .

Проанализируем результат:

(2.8)

Имеем регулярную прецессию, так как выполняется условие (2.8).

3. При регулярной прецессии вектор углового ускорения конуса определяется по формуле (2.3) .

Величину углового ускорения конуса определить по формуле

(см. рис. 2.6).

Вектор углового ускорения ; в силу (2.2)

4. Вектор скорости точки В определяется по формуле (2.3): .

Тогда величина вектора скорости , где - кратчайшее расстояние от точки В до мгновенной оси вращения .

Вектор скорости точки В по направлению совпадает с осью (см. формулу (2.3)).

5. Вектор ускорения точки В определить по формуле как векторную сумму осестремительного и вращательного ускорений точки В. (м/с²) - величина осестремительного ускоре-
ния точки В. (направление всегда известно по наименованию
(см. рис. 2.6)).

Вектор вращательного ускорения определить из
векторного произведения (2.5) , тогда (м/с²).

Вектор и направлен в силу (2.5), как показано на рис. 2.6.

Полное ускорение точки В, вектор определить по теореме косинусов (2.6): . Угол =60°, cos60°=0,5.

Тогда (м/с²) (с точностью до трех значащих цифр).

Направление вектора (см. рис. 2.6) построить как диагональ параллелограмма со сторонами . Обратить внимание на то, что угол между не равен 90°, как это бывает при вращении тела вокруг неподвижной оси.