Пример 6.
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 
процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 |
Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.
Ответ: 5.
Комментарий.
В решении без объяснений записано неравенство. Неравенство явно не решено. Таким образом, решение недостаточно обоснованное.
Оценка эксперта: 2 балла.
Критерии проверки и оценка решений задания 18 ЕГЭ–2018
Задание №18 – это уравнение, неравенство или их системы с параметром.
Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:
– чисто алгебраический способ решения;
– способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;
– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.
Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трех перечисленных способов.
Задача 18 (демонстрационный вариант 2018 г).
Задача 1
Найдите все значения 
, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Решение.
Исходное уравнение равносильно уравнению 
при условии 
.
Решим уравнение 
:
;
; 
,
откуда 
, 
или 
.
Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны
и для каждого из них выполнено условие 
.
Рассмотрим условия совпадения корней. При 
имеем 
.
При 
имеем 
. При остальных значениях числа 0,
, 
различны.
При получаем: 
при всех значениях .
При получаем:
.
Это выражение неотрицательно при 
.
При 
получаем:
.
Это выражение неотрицательно при 
.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
; 
; 
.
Ответ: ; 
; .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек  и/или 
| |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением граничных точек
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
| |
Получены корни уравнения : , , ; и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии  ()
| |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
Задача 2.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение.
|
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если 
, то получаем уравнение
;
;
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 
.
2) Если 
, то получаем уравнение
; 
; 
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом .
Полученные окружности пересекаются в двух точках 
и 
, лежащих на прямой 
, поэтому в первом случае получаем дугу 
с концами в точках 
и 
, во втором — дугу 
с концами в тех же точках (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую 
, которая проходит через точку и угловой коэффициент которой равен 
.
При 
прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая перпендикулярна прямой 
, угловой коэффициент которой равен 
, значит, прямая касается дуги 
в точке и пересекает дугу 
в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая перпендикулярна прямой 
, угловой коэффициент которой равен 
, значит, прямая касается дуги в точке
и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При 
или прямая пересекает каждую из дуг и 
в точке
и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.
При 
прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая 
пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет ровно два решения при 
.
Ответ: .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек  и/или 
| |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |