Задание 14 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. Для получения 2 баллов нужно, чтобы были выполнены оба пункта, а для получения 1 балла хватает выполнения одного из этих пунктов.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
Задача 14 (демонстрационный вариант 2018 г).
Задание 1
В правильной треугольной призме 
сторона 
основания равна 6, а боковое ребро 
равно 3. На рёбрах и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
. Точка 
— середина ребра 
. Плоскость 
параллельна прямой 
и содержит точки и 
.
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Решение.
а) Проведём через точки и прямые, параллельные . Пусть эти прямые пересекают рёбра  и  в точках  и  соответственно (рис. 1). Тогда трапеция  является сечением исходной призмы плоскостью . Рассмотрим плоскость  . Пусть эта плоскость пересекает прямые ,  и  в точках  ,  и  соответственно. Четырёхугольник  — прямоугольник, причём  ,  .
| 
|
Кроме того, 
, 
, откуда 
, 
. Пусть 
— высота трапеции 
(рис. 2), тогда
 .
Поскольку  ,
 ,
то есть прямые  и перпендикулярны.
| 
|
Прямая параллельна прямой , которая перпендикулярна плоскости 
. Значит, прямые и перпендикулярны прямой , поэтому прямая перпендикулярна плоскости .
б) Расстояние от точки до плоскости равно 
, а площадь трапеции равна
.
Значит, искомый объём равен 
.
Ответ: б) 
.
Задание 2
Основанием четырёхугольной пирамиды 
является трапеция 
, причём 
. Плоскости 
и 
перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых 
и 
.
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды 
, если 
, а высота пирамиды равна 9.
Решение.
|
а) Заметим, что 
. Плоскости 
и перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой, содержащей высоту пирамиды. Значит, 
— высота пирамиды. Таким образом, угол 
является линейным углом двугранного угла между плоскостями
и . Значит, они перпендикулярны.
б) Поскольку 
, трапеция 
является равнобедренной. Значит,
;
.
Таким образом, площадь треугольника 
равна 
,
а объём пирамиды равен 
.
Ответ: б) 12.
Примеры оценивания выполнения задания 14
Пример 1.
В правильной треугольной призме 
сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и 
отмечены точки и 
соответственно, причём 
. Точка — середина ребра 
. Плоскость 
параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости 
.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) 
.
Комментарий.
Доказательство утверждения в пункте а недостаточно обоснованно. С использованием утверждения пункта а верно получен ответ в пункте б.