Основы вариационного исчисления - II
Методические указания
и варианты заданий
для самостоятельной работы студентов
III курса специальностей КМ и ДПМ
Издательство
Пермского государственного технического университета
Составитель: В.В. Малыгина
УДК 517 (075.8)
О75
Рецензент:
канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.Н. Бояршинова
Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод. указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей КМ и ДПМ / сост. В.В. Малыгина. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 58 с.
Данное методическое пособие является продолжением пособия «Основы вариационного исчисления – I», сохраняя его обозначения и терминологию, а также продолжая нумерацию формул, примеров и заданий. В часть II вошли разделы «Вариационные задачи на плоскости и в пространстве», «Вариационные задачи с подвижными границами» и «Задачи на условный экстремум».
УДК 517 (075.8)
© ГОУ ВПО
«Пермский государственный
технический университет», 2008
Вариационные задачи на плоскости и в пространстве
Функционалы, рассматриваемые в части I, имели областью определения множества функций одной переменной. Соответственно, уравнение Эйлера, к которому сводилась вариационная задача, представляло собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
Предположим, что вариационная задача должна быть поставлена и решена для функции нескольких (ради определенности – двух) независимых переменных: 
. Тогда, если мы продолжим изучение функционалов интегрального вида, то вместо функции 
следует рассматривать функцию 
, а вместо однократного интеграла появится двойной, взятый по некоторой области 
. (4)
Уточним условия на функцию 
. Помимо непрерывности в области 
вместе со своими частными производными, она должна удовлетворять граничным условиям. Остановимся на этом подробнее. В части I для однозначного определения экстремали задавались значения 
и 
, т.е. значения функции на границах отрезка 
. Для функции двух переменных, продолжая аналогию, естественно задать условия на границе области . Обозначим эту границу 
и потребуем, чтобы
.
На функционал (4) легко обобщается необходимое условие экстремума.
Обозначим для удобства 
В этих обозначениях функция примет вид 
.
Теорема. Пусть функция 
– экстремаль функционала (4). Тогда является решением уравнения:
. (5)
Полученное уравнение представляет собой уравнение в частных производных второго порядка. Если функция зависит только от одной переменной, то оно превращается в уравнение Эйлера. В самом деле, если 
, то 
, 
, 
, 
и (5) принимает вид
.
Пример 5. Найти экстремаль функционала
где – единичный круг с центром в начале координат, с граничными условиями 
.
Решение. Пользуясь введенными ранее обозначениями, запишем: 
. Уравнение (5) имеет вид: 
, то есть представляет собой уравнение эллиптического типа. Область, на которой ищется решение – внутренность круга (ограниченное множество), граница его – окружность, вдоль которой функция обращается в нуль. Следовательно, искомая экстремаль является решением задачи Дирихле для внутренности круга. Для круговых областей естественно переформулировать задачу, перейдя к полярным координатам 
:
(6)
Заменой переменных 
сводим уравнение (6) к однородному (с ненулевыми граничными условиями):
(7)
Как известно из курса уравнений математической физики, решение задачи (7) имеет представление в виде ряда:
.
Учитывая граничные условия, получаем:
,
откуда по формуле для коэффициентов ряда Фурье имеем:
. Следовательно,
, а 
.
Если функция зависит от 
переменных, то вариационная задача ставится для функционала, который представляет собой 
кратный интеграл
(8)
по области 
. Обобщая вышеприведенную теорему, приходим к выводу, что функция, являющаяся экстремалью функционала (8), необходимо удовлетворяет уравнению:
, где 
В частности, для случая трехмерной области получаем следующее необходимое условие экстремума.
Теорема. Пусть функция – экстремаль функционала
.
Тогда является решением уравнения:
, где 
. (9)
Пример 6. Пусть 
– прямой круговой цилиндр. Найти экстремаль функционала
,
удовлетворяющую граничным условиям: 
, 
.
Решение. Для данного функционала уравнение (9) принимает вид 
. Поскольку область – цилиндр, то задачу удобнее переформулировать в цилиндрических координатах 
. Из вида граничных условий заключаем, что задача является осесимметричной. Ее решение не зависит от 
и является функцией двух переменных: 
. Следовательно, экстремаль данного функционала есть решение следующей задачи:
Полученное уравнение является уравнением в частных производных эллиптического типа и в совокупности с условиями на границе образует задачу Дирихле. Ее решение может быть получено методом разделения переменных.
Будем искать решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям 
в виде 
. Разделяя переменные, имеем:
.
Учитывая граничные условия, получаем, что функция 
является собственной функцией задачи Штурма–Лиувилля:
Как известно, собственные числа этой задачи 
, а соответствующие собственные функции 
. Для функции 
получаем уравнение
,
решением которого являются функции Бесселя мнимого аргумента: 
. Так как рассматриваемое уравнение и граничные условия являются линейными, то ряд, составленный из найденных функций 
и 
,
при любых коэффициентах 
также является решением уравнения, удовлетворяющим однородным краевым условиям. Для определения используем последнее граничное условие:
.
Применяя теорему Стеклова, получаем: 
, 
при 
, то есть искомая экстремаль имеет вид:
.