Очевидно, что подвижная граница не обязательно должна быть вертикальной прямой: если экстремаль имеет дополнительную степень свободы, то естественно допустить, что она может принадлежать любой кривой (не исключается случай вертикальной и горизонтальной прямой).
Рассмотрим задачу в общей постановке.
Пусть в вариационной задаче об отыскании экстремума функционала
(10)
одна граничная точка фиксирована 
, а вторая – 
– может перемещаться по некоторой кривой 
. Тогда класс кривых, на которых ищется экстремум, расширяется, но вариационная задача остается содержательной. Функционал в этом случае начинает зависеть, вообще говоря, от трех переменных: функции 
и параметров 
.
Пусть 
– экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям 
, 
; здесь 
– вторая граничная точка. В силу необходимого условия экстремума 
. Вычисляя вариацию функционала (10), получаем:
.
Полагая 
, получаем, что должно быть выполнено основное необходимое для достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие – функция 
является решением уравнения Эйлера. Значит, на функции уравнение 
обращается в тождество. А тогда в формуле для вариации функционала (10) первое интегральное слагаемое обращается в нуль и вариация приобретает вид
.
Теперь положим 
, получим следующее условие
,
которому, если 
(то есть экстремаль пересекает кривую 
, а не касается ее!), удобнее придать вид:
.
Полученное равенство называется условием трансверсальности.
Аналогичное условие возникнет и на левом конце, если ему разрешить меняться на какой-нибудь кривой.
Замечание. Условию трансверсальности часто удается придать простой геометрический смысл: например, для функционалов вида
|
|
(11)
(функция 
), имеем:
.
Отсюда следует, что условие трансверсальности эквивалентно требованию
,
что означает ортогональность кривых и в точке их пересечения.
Итак, для решения вариационной задачи с подвижной границей следует:
- Решить уравнение Эйлера, определив тем самым семейство экстремалей, зависящих от двух произвольных постоянных.
- Используя условия жесткого закрепления (если они есть), получитьсоотношение для определения произвольных постоянных.
- С учетом вида множества, которому принадлежит подвижная граница, найти дополнительные соотношения для определения произвольных постоянных.
Пример 7. Исследовать на экстремум функционал
при условии 
, а вторая граница принадлежит прямой 
.
Решение. Во-первых, составим и решим уравнение Эйлера. Данный функционал имеет специальный вид: функция 
не зависит от переменной 
. Следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл
,
представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно 
, получаем уравнение в разделяющихся переменных
,
интегральными кривыми которого являются окружности
.
Во-вторых, учтем первое граничное условие . Получим 
.
В-третьих, множество, которому принадлежит свободная граница, представляет собой кривую, значит, нужно использовать условие трансверсальности, но наш функционал имеет вид (11) и для него, согласно вышеприведенному замечанию, условие трансверсальности совпадает с условием ортогональности. Следовательно, прямая должна быть ортогональна окружности, что возможно только тогда, когда прямая лежит на диаметре окружности 
.
|
|
Значит, центр этой окружности находится в точке (5,0) пересечения прямой с осью .
Итак, экстремалями данной задачи являются две ветви окружности: 
и 
(рис.2).