Интересный класс задач на условный экстремум образуют так называемые изопериметрические задачи. Классической задачей такого вида (давшей название всему классу задач) является задача Дидоны: найти замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую площадь при заданном периметре. При этом и минимизируемый функционал (площадь) и ограничение (периметр) задаются определенными интегралами.
Рассмотрим задачу в общей постановке. Пусть на кривых 
с фиксированными концами 
, 
функционал
достигает своего минимального (максимального) значения, причем интегралы
обладают заранее заданными значениями 
. Функции 
и 
считаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
На первый взгляд кажется, что интегральные ограничения существенно усложняют задачу, и к изопериметрической задаче неприменимы методы предыдущего раздела. Однако оказалось, что изопериметрическую задачу остроумным приемом можно свести к задаче на условный экстремум с функциональными условиями связи.
Обозначим
.
Тогда
– новые условия связи, уже дифференциально-функционального вида, а изопериметрические условия превращаются в граничные условия:
.
Таким образом, задача свелась к задаче на условный экстремум, для которой выше был приведен алгоритм решения. Следуя ему, составляем вспомогательную функцию
,
для которой система уравнений Эйлера имеет вид:
.
Но так как 
, то 
, а тогда
.
Следовательно, для изопериметрической задачи в качестве функции Лагранжа можно взять функцию
с постоянными множителями 
. Далее для функции 
, как и ранее, выписывается и решается система уравнений Эйлера, а для определения произвольных постоянных и параметров используются граничные и изопериметрические условия. То обстоятельство, что множители оказываются постоянными, безусловно, упрощает решение задачи.
|
|
Пример 9. Найти экстремум функционала
на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям 
, 
и дополнительному условию 
.
Решение. Поставленная задача, очевидно, относится к классу изопериметрических задач, поэтому, согласно приведенной выше схеме, запишем вспомогательную функцию 
, для которой составим уравнение Эйлера: 
. Так как знак 
неизвестен, решение уравнения Эйлера следует провести для каждого из трех случаев: 
, 
и 
.
- Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид
.
Подставляя граничные условия, находим 
, то есть 
. Но это решение не удовлетворяет условию , следовательно, при решений у задачи нет.
- Пусть
, тогда решение уравнения Эйлера имеет вид
,
из граничных условий снова получаем , а , то есть при задача также не имеет решений.
- Пусть
, тогда решение уравнения Эйлера имеет вид
,
подставляя граничные условия, находим 
, 
– любое число, 
. Следовательно, 
, где 
. Определим через изопериметрическое условие:
.
Получаем 
, то есть 
. Так как , то можно оставить перед функцией один знак. Окончательно получаем, что данная вариационная задача имеет бесконечное множество решений вида:
.