Пусть даны две точки ,
плоскости
, пусть
. Пусть далее
– уравнение кривой, соединяющей точки
и
, т.е.
,
. Кривая вращается вокруг оси
, заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую возможную площадь. Таким образом, мы приходим к проблеме выбора функции
, для которой интеграл
– площадь поверхности вращения – минимален. Такие минимальные поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях на точки и
, называются катеноидами.
Функция F в этом случае имеет вид , то есть не зависит от x. Первый интеграл дается равенством
, и тогда
.
Решая это уравнение в разделяющихся переменных, получаем
.
Удобно далее положить . Тогда
.
Положим и
, тогда окончательно
– искомая кривая (цепная линия).
Список рекомендуемой литературы
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.
2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.
3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.
Варианты заданий
Задание 5
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе.
1. ,
– сектор круга:
.
Граничные условия: ,
.
2. ,
– кольцо:
.
Граничные условия: ,
.
3. ,
– круг:
.
Граничные условия: .
4. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
.
5. ,
– сектор кольца:
.
Граничные условия: ,
.
6. ,
– сектор круга:
.
Граничные условия: ,
.
7. ,
– кольцо:
.
Граничные условия: ,
.
8. ,
– круг:
.
Граничные условия: .
9. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
.
10. ,
– сектор кольца:
.
Граничные условия: ,
.
11. ,
– сектор круга:
.
Граничные условия: ,
.
12. ,
– кольцо:
.
Граничные условия: ,
.
13. ,
– круг:
.
Граничные условия: .
14. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
,
.
15. ,
– сектор кольца:
.
Граничные условия: ,
.
16. ,
– сектор круга:
.
Граничные условия: ,
.
17. ,
– кольцо:
.
Граничные условия: ,
.
18. ,
– круг:
.
Граничные условия: .
19. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
,
.
20. ,
– сектор кольца:
.
Граничные условия: ,
.
21. ,
– сектор круга:
.
Граничные условия: ,
.
22. ,
– кольцо:
.
Граничные условия: ,
.
23. ,
– круг:
.
Граничные условия: .
24. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
,
.
25. ,
– сектор кольца:
.
Граничные условия: ,
.
26. ,
– сектор круга:
,
.
Граничные условия: ,
, где
– произвольная непрерывная на отрезке
функция.
27. ,
– кольцо:
.
Граничные условия: ,
.
28. ,
– круг:
.
Граничные условия: .
29. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: .
30. ,
– сектор кольца:
,
– непрерывная на отрезке
функция.
Граничные условия: .
Задание 6
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе, используя для построения решения функции Бесселя и многочлены Лежандра.
1. ,
– прямой круговой цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
2. ,
– прямой круговой цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
3. ,
– прямой круговой цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
4. ,
– шар:
.
Граничные условия: .
5. ,
– шар:
.
Граничные условия: .
6. ,
– шар:
.
Граничные условия: .
7. ,
– шар:
.
Граничные условия: .
8. ,
– шар:
.
Граничные условия: .
9. ,
– круг:
.
Граничные условия: .
10. ,
– сектор круга:
.
Граничные условия: ,
.
11. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
12. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
13. ,
– прямоугольник:
.
Граничные условия: ,
,
,
где – непрерывная на отрезке
функция.
14. ,
– прямоугольник:
.
Граничные условия: ,
,
,
где – непрерывная на отрезке
функция.
15. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
16. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
17. ,
– прямоугольник:
.
Граничные условия: ,
,
,
где – непрерывная на отрезке
функция.
18. ,
– прямоугольник:
.
Граничные условия: ,
,
,
где – непрерывная на отрезке
функция.
19. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
20. ,
– квадрат:
.
Граничные условия: ,
,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
21. ,
– прямоугольник:
.
Граничные условия: ,
,
,
где – непрерывная на отрезке
функция.
22. ,
– прямоугольник:
.
Граничные условия: ,
,
,
где – непрерывная на отрезке
функция.
23. ,
– эллиптический цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
24. ,
– эллиптический цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
25. ,
– эллиптический цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
26. ,
– эллиптический цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
27. ,
– эллиптический цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
28. ,
– эллиптический цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
29. ,
– эллиптический цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
30. ,
– эллиптический цилиндр:
.
Граничные условия: ,
, где
– непрерывная на отрезке
функция.
Задание 7
Решить задачу навигации при условии, что собственная скорость лодки постоянна, а скорость реки задается указанным ниже равенством. Предполагая, что , построить график движения лодки, при котором переправа осуществится за минимальное время.
-
-
-
.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.
-
.
-
.
-
.
-
-
-
-
-
Задание 8
Найти экстремали следующих вариационных задач с подвижными границами.
Задание 9
Найти решение следующих изопериметрических задач.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
14.
19.
23.
Задание 10
Сформулировать следующие задачи как задачи на отыскание экстремумов некоторых интегральных функционалов и решить их методами вариационного исчисления.
- Найти замкнутую линию наименьшей длины, ограничивающую заданную площадь S.
- Найти замкнутую линию заданной длины L, ограничивающую наибольшую площадь.
- Даны два взаимно перпендикулярных луча ОА и ОВ с общей вершиной О. Среди кривых заданной длины L, концы которых лежат на ОА и ОВ, найти такую, которая отсекает от угла АОВ максимальную площадь.
- Даны два взаимно перпендикулярных луча ОА и ОВ с общей вершиной О. Среди кривых с концами на ОА и ОВ, отсекающих от угла АОВ заданную площадь S, найти кривую наименьшей длины.
- В равностороннем треугольнике провести кривую заданной длины, которая образовала бы вместе с углом треугольника фигуру наибольшей площади.
- В равностороннем треугольнике провести кривую наименьшей длины, которая образовала бы вместе с углом треугольника фигуру заданной площади.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
, соединяющей точки
и
, со скоростью, прямо пропорциональной абсциссе точки в каждый момент времени. Найти кривую
, время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую
, соединяющую начало координат с точкой на прямой
, и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую
, соединяющую начало координат с точкой на прямой
, и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую
, соединяющую начало координат с точкой на прямой
, и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую
, соединяющую начало координат с точкой на окружности
, и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
, соединяющей точки
и
, со скоростью, обратно пропорциональной абсциссе точки в каждый момент времени. Найти кривую
, время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
, соединяющей точки
и
, со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую
, время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
, соединяющей точки
и
, со скоростью, обратно пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую
, время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
, соединяющей точки
и
, со скоростью
(k – постоянный коэффициент). Найти кривую
, время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
, соединяющей точки
и
, со скоростью,
(k – постоянный коэффициент). Найти кривую
, время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
, соединяющей точки
и
, со скоростью,
(k – постоянный коэффициент). Найти кривую
, время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
- Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
, соединяющей точки
и
, со скоростью,
(k – постоянный коэффициент). Найти кривую
, время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
- Решить задачу о брахистохроне, если известно, что шарик должен оказаться на некоторой вертикальной прямой.
- Решить задач