Пусть даны две точки 
, 
плоскости 
, пусть 
. Пусть далее 
– уравнение кривой, соединяющей точки 
и 
, т.е. 
, 
. Кривая вращается вокруг оси 
, заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую возможную площадь. Таким образом, мы приходим к проблеме выбора функции 
, для которой интеграл
– площадь поверхности вращения – минимален. Такие минимальные поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях на точки и , называются катеноидами.
Функция F в этом случае имеет вид 
, то есть не зависит от x. Первый интеграл дается равенством
, и тогда 
.
Решая это уравнение в разделяющихся переменных, получаем
.
Удобно далее положить 
. Тогда
.
Положим 
и 
, тогда окончательно 
– искомая кривая (цепная линия).
Список рекомендуемой литературы
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.
2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.
3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.
Варианты заданий
Задание 5
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе.
1. 
,
– сектор круга: 
.
Граничные условия: 
, 
.
2. 
,
– кольцо: 
.
Граничные условия: 
, 
.
3. 
,
– круг: 
.
Граничные условия: 
.
4. ,
– квадрат: 
.
Граничные условия: 
, 
.
5. ,
– сектор кольца: 
.
Граничные условия: 
, 
.
6. ,
– сектор круга: 
.
Граничные условия: 
, 
.
7. 
,
– кольцо: 
.
|
|
Граничные условия: 
, 
.
8. 
,
– круг: 
.
Граничные условия: 
.
9. ,
– квадрат: .
Граничные условия: 
, .
10. 
,
– сектор кольца: 
.
Граничные условия: 
, 
.
11. 
,
– сектор круга: 
.
Граничные условия: 
, 
.
12. 
,
– кольцо: 
.
Граничные условия: 
, 
.
13. ,
– круг: 
.
Граничные условия: 
.
14. 
,
– квадрат: .
Граничные условия: 
, 
, 
.
15. 
,
– сектор кольца: 
.
Граничные условия: 
, 
.
16. ,
– сектор круга: 
.
Граничные условия: 
, 
.
17. 
,
– кольцо: .
Граничные условия: 
, 
.
18. 
,
– круг: .
Граничные условия: 
.
19. ,
– квадрат: .
Граничные условия: 
, 
, 
.
20. 
,
– сектор кольца: .
Граничные условия: 
, 
.
21. ,
– сектор круга: 
.
Граничные условия: 
, .
22. 
,
– кольцо: .
Граничные условия: , 
.
23. 
,
– круг: .
Граничные условия: 
.
24. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , 
, 
.
25. ,
– сектор кольца: 
.
Граничные условия: 
, 
.
26. ,
– сектор круга: 
, 
.
Граничные условия: 
, 
, где 
– произвольная непрерывная на отрезке 
функция.
27. ,
– кольцо: .
Граничные условия: 
, 
.
28. ,
– круг: .
Граничные условия: .
29. ,
– квадрат: .
Граничные условия: 
.
30. 
,
– сектор кольца: 
, – непрерывная на отрезке 
функция.
Граничные условия: 
.
Задание 6
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе, используя для построения решения функции Бесселя и многочлены Лежандра.
1. 
,
– прямой круговой цилиндр: 
.
Граничные условия: 
, 
, где – непрерывная на отрезке 
функция.
2. 
,
– прямой круговой цилиндр: 
.
Граничные условия: 
, 
, где – непрерывная на отрезке функция.
|
|
3. ,
– прямой круговой цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
4. ,
– шар: 
.
Граничные условия: 
.
5. ,
– шар: 
.
Граничные условия: 
.
6. ,
– шар: .
Граничные условия: 
.
7. ,
– шар: .
Граничные условия: 
.
8. ,
– шар: .
Граничные условия: 
.
9. 
,
– круг: .
Граничные условия: 
.
10. 
,
– сектор круга: .
Граничные условия: 
, .
11. 
,
– квадрат: .
Граничные условия: 
, 
, 
, где – непрерывная на отрезке функция.
12. 
,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
13. ,
– прямоугольник: 
.
Граничные условия: 
, , 
,
где – непрерывная на отрезке 
функция.
14. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
15. 
,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
16. 
,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
17. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
18. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
19. 
,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
20. 
,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
21. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
22. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
23. 
,
– эллиптический цилиндр: 
.
Граничные условия: 
, 
, где – непрерывная на отрезке 
функция.
|
|
24. 
,
– эллиптический цилиндр: 
.
Граничные условия: , 
, где – непрерывная на отрезке функция.
25. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: 
, 
, где – непрерывная на отрезке функция.
26. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке 
функция.
27. 
,
– эллиптический цилиндр: 
.
Граничные условия: , 
, где – непрерывная на отрезке функция.
28. 
,
– эллиптический цилиндр: 
.
Граничные условия: , 
, где – непрерывная на отрезке функция.
29. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: 
, 
, где – непрерывная на отрезке 
функция.
30. ,
– эллиптический цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
Задание 7
Решить задачу навигации при условии, что собственная скорость лодки постоянна, а скорость реки задается указанным ниже равенством. Предполагая, что 
, построить график движения лодки, при котором переправа осуществится за минимальное время.
-
-
-
. -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
. -
. -
. -
. -
-
-
-
-
Задание 8
Найти экстремали следующих вариационных задач с подвижными границами.
Задание 9
Найти решение следующих изопериметрических задач.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
14. 
19. 
23. 
Задание 10
Сформулировать следующие задачи как задачи на отыскание экстремумов некоторых интегральных функционалов и решить их методами вариационного исчисления.