В качестве иллюстрации построенной теории решим три классические задачи: задачу Дидоны, задачу о брахистохроне и задачу о минимальной поверхности вращения. Каждую из этих задач сначала переформулируем в вариационных терминах, то есть поставим ее как задачу отыскания минимума функционала с заданными граничными условиями, а затем решим ее разработанными выше методами вариационного исчисления.
Задача Дидоны
Вспомним задачу, о которой говорилось в начале курса: мы оставили Дидону в тот момент, когда ей нужно было ограничить шнуром фиксированной длины максимальную площадь. Мы уже освоили вариационное исчисление настолько хорошо, что можем помочь Дидоне.
Рассмотрим множество функций , определенных на отрезке
, таких, что
при всех
, а
(рис. 3). Вместе с отрезком
график каждой функции
ограничивает площадь, задаваемую функционалом
.
Потребуем дополнительно, чтобы кривые имели фиксированную длину, то есть постоянное значение сохранял функционал вида:
.
Мы получаем, таким образом, изопериметрическую задачу, для которой нам уже известны методы решения.
Выстраиваем вспомогательную функцию и записываем для нее уравнение Эйлера. Функция
не зависит от переменной
, следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл
,
представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно , получаем уравнение в разделяющихся переменных, интегральными кривыми которого являются окружности:
.
Учитывая граничные условия, находим, что , а
. Не нарушая общности, можем считать, что интересующая нас дуга окружности не больше ее половины, тогда центр окружности лежит ниже оси
, и
. Для определения параметра
, то есть радиуса искомой окружности, используем условие постоянства периметра.
.
Уравнение
эквивалентно уравнению
где
,
,
. Из геометрических соображений ясно, что задача содержательна лишь при условии
, следовательно,
, а тогда уравнение
всегда имеет на отрезке
единственный корень
(рис. 4).
Отсюда находим радиус искомой окружности и координаты ее центра:
.
Задача о брахистохроне
Предположим, что точки и
лежат в плоскости
с осью
, направленной вниз (рис.5). Положим
и
и пусть
– уравнение дуги, соединяющей точки
и
так, что
,
,
,
. Скорость движения вдоль кривой пусть равна
. Тогда время спуска равно
.
Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся законом сохранения энергии:
,
где — начальная скорость движения частицы. Тогда
,
и задача свелась к выбору функции , для которой интеграл
достигает наименьшего значения из всех возможных.
Так как функция зависит только от
и
, то уравнение Эйлера допускает первый интеграл:
.
Разрешая это уравнение относительно , находим
,
где мы положили . Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в разделяющихся переменных. Решая его, имеем:
.
Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой
. Тогда
.
Мы пришли к решению в параметрической форме
Это и есть кривая наибыстрейшего спуска, известная под названием циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных и
позволяет провести циклоиду через произвольные две заданные точки. Напомним, что величина
не является произвольной постоянной.