Обе предлагаемые ниже формулы предназначены уп-
ростить вычислительный процесс, заменяя нахождение
произведения двузначного числа на двузначное (или
многозначного числа на многозначное) вычислением
Произведения двузначного (многозначного) числа на од-
нозначное. Это дает возможность получать окончатель-
ный результат цифру за цифрой последовательно и су-
щественно облегчает вычисления.
Использование формулы х2 = (х — а) • (х+а) + а2 для
возведения в квадрат двузначных чисел. В этом случае
Умножение двузначных чисел всегда сводится к умно-
жению двузначного числа на однозначное. Практически
выполняются следующие вычислительные процедуры,
которые рассматриваются на примере возведения в квад-
рат числа 46.
1) Выбираем значение а. Здесь возможны два ва-
рианта:
а) за а принимаем дополнение 46 до следующего пол-
ного числа десятков, т. е. в нашем случае до 50 (а =4) В
этом случае формула для вычисления приобретает вид:
(46+4)* (46—4)+42=50Х42+42;
б) за а принимаем число единиц возводимого в квад-
рат числа. Тогда формула для вычисления квадрата прb-
мет вид:
(46 — 6) • (46 + 6) + 62 = 40 X 52 + 62.
Независимо от того, какой вариант мы избрали, конеч-
ный результат будет, вполне естественно, один и тот же
Для определенности в дальнейшем ведем вычисления по
формуле первого варианта;
2) возводим в квадрат число а и единицы полученно-
го результата записываем на место единиц окончатель-
ного результата. Число десятков запоминаем
462=50Х42+42 =...16;
3) последовательно выполняем вычисление 42 X 5 и
получающиеся произведения записываем в окончатель-
ный результат, помня, что первая получающаяся цифра
произведения в конечном результате должна стоять на
месте десятков:
462 = 50 Х42 + 42 =...46;
462 = 2116.
Для закрепления метода проведем все вычисления
для варианта 462 = (46 — 6) (46 + 6) + б2:
462 = 40Х52 + 62=...36,
2X4 = 8, 8 + 3=11; 46б =...116,
5X4 = 20, 20+1=21; 462 = 21 16.
Попробуйте проделать несколько расчетов самостоя-
тельно, сразу записывая окончательный результат. Про-
верьте получаемые ответы:
1) 872= 3) 542= 5) 222 =
2) 932= 4) 382= 6) 192 =
Ответы для проверки: 1) 7569; 2) 8649; 3) 2916; 4) 7744;
5) 484; 6) 361.
Использование формулы х2 =(х — а) • (х + а) + а2
для возведения в квадрат многозначных чисел. Если при-
веденная выше формула всегда может быть рекомендо-
вана для возведения в квадрат двузначных чисел, то в
случае многозначных чисел существенный выигрыш по-
лучается только в том случае, если возводимое в квадрат
число имеет вид АХ10 + Ь, где А — любая значащая
цифра, а В — число, квадрат которого известен. Техника
вычислений полностью аналогична описанной в предыду-
щем пункте, но на один момент надо обратить внимание.
В окончательном результате для В2 должно отводиться п
разрядов. Двузначные числа в общем виде имеют вид
А* 101±.В, т. е. п = 1. Не акцентируя на этом внимание,
мы тем не менее отвели для В2 именно один разряд. Ес-
лимы будем возводить в квадрат число 2005 (2 • 103 +
+5), то в окончательном результате для 52 будет отве-
дено3 разряда:
2О052 = (2005 — 5) • (2005 + 5) + 52,
2000X2010 + 25=...025,
20052 = 4 020 025.
Рассмотрим еще два примера:
3972 = (397+ 3) (397 —3) + З2,
= 400Х394 + 32=...09.
ппрактически равно числу нулей в первом сомножите-
ле 3972 =...1609 =...3709=15 709.
30252 = 3000 X 3050 + 252 =...625 =...0625 = 9 150 625.
Теперь решите самостоятельно несколько примеров:
1) 4962= 3) 6302= 5) 6902 =
2) 50 0152 = 4) 40092= 6) 7152 =
Ответы для проверки: 1) 246016; 2) 2501500225;
3) 396900; 4) 16072 081; 5) 476100; 6) 511225.
Использование формулы х2 = (А • 10п + В)2 = (х +
+ В) • Ап • А+В2. Вынесенная в заголовок формула
эквивалентна формуле, приведенной на с. 95: х2 =
= (х + а) (х — а) + а2, где а = В. Область применения
еенесколько уже, но формулировка хорошо запоминает-
ся, поэтому ее и выделили в отдельный раздел,
Для двузначных чисел метод формулируется так:
чтобы возвести в квадрат двузначное число, надо возвес-
тив квадрат число единиц и записать полученное число
разряд единиц окончательного результата. (Если этот
квадрат двузначное число, число десятков запоминаем).
Затем к числу прибавляем число единиц и умножаем на
число десятков. Произведение записываем в окончатель-
ныи результат перед квадратом единиц:
242 = (24 + 4) * 2+ 16 =... 16 = 576.
Если вами освоен материал предыдущих двух раз-
делов, то дополнительных пояснений по использованию
формулы для возведения в квадрат многозначных чисел
не требуется. Приведем поясняющие примеры:
3092 = (309 + 9) • 3 • 102 + 92 — практически мы имеем
дело с выражением (309 + 9) • 3, к которому приписыва-
• С. Сорокин
ем 81, так как множитель 102 мы учитываем, когда для
92 отводим 2 разряда.
3092 = 318*3* (102) + 92 =... 81 =... 2481 =...5481 =
= 95 481; 60 0252 = (60 025 + 25) * 6 * (104) + 252 =
=...0625 = 3 603 000 625.
Закрепите материал самостоятельным решением приме-
ров:
1) 832 = 3) 50112 = 5) 662 =
2) 8032 = 4) 742 = 6) 700302 =
Ответы для проверки: 1) 6889; 2) 644 809; 3) 25 110 121-
4) 5476; 5) 4356; 6) 4 904 200 900.
7. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
а) Для того чтобы возвести в квадрат произвольное
двузначное число, значение разряда единиц которого,
больше 5 (например, 37X37; 76Х76), необходимо:
1) возвести в квадрат число единиц и значение разря-
да единиц квадрата записать в младший разряд окон-
чательного результата:
7 X 7 = 49, 6X6,
37X37=...9, 76X76 =...6;
2) число десятков, увеличенное на единицу, умножить
на младший разряд удвоенного числа единиц основания
(если число единиц равно 6, то к результату вычислений
прибавим еще 1 единицу). Это произведение дает десят-
ки окончательного результата. Если оно двузначное,
число десятков запоминаем:
7X2 = 14,
(3+1)Х4=16,
37 X 37 =...169,
6X2=12,
(7 + 1) X 2 = 16, 16 + 1 = 17 (так как число единиц=6)
76 X 76 =...176;
3) найти произведение числа десятков на число десят-
ков, увеличенное на единицу. Это произведение (с уче
том запомненного числа десятков предыдущего шага вы-
числений) даст сотни окончательного результата:
3X4=12, 7X8 = 56,
12 + 1 = 13, 56+1 = 57,
37 X 37 = 1369. 76 X 76 = 5776.
б) Для возведения в.квадрат произвольного двузнач-
ного числа с единицами меньше 5 (например, 23 X 23,
94Х94) надо:
1) записать в окончательный результат квадрат еди-
ниц основания (если квадрат число двузначное, число
десятков запоминаем):
3X3 = 9, 4X4=16,
23X23 =...9, 94X94 =... 16.
2) удвоенное число единиц умножить на число десят-
ков. В случае необходимости прибавить запомненное чис-*
|ло десятков предыдущего шага вычислений. Результат
дает число десятков окончательного результата:
3X2X2=12, 4X2X9 = 72,
72 + 1=73,
23X23=... 129, 94X94=... 73б.
3) перемножить десятки. Учесть перенос разряда де-
сятков предыдущего шага вычислений
2X2 = 4, 9X9 = 81,
4 + 1=5, 81+7 = 88,
23X23 = 529, 94X94 = 8836.
|Несколько примеров на применение метода:
58X58 =
1) 8X8=64, 58X58=...4,
2) 8X2=16, (5+1)Х6=36, 58Х58=..354,
3) 5Х(5+1)=30, 30+3=33, 58X58=3364.
186X86 =
1) 6X6 = 36, 86X86 =...6,
2) 6X2=12, (8+1)Х2=18.
В основании число единиц равно 6, следовательно,
18+1 = 19,
86X86=...196,
I 3) 8*(8+1) =72, 72+1=73, 86*86=7396.
32X32= 1) 2*2 = 4, 32*32=... 4,
2) 2*2*3=12, 32*32 =.... 124,
3) 3*3 = 9,9+1 = 10,32*32=1024.
Обоснование метода.
I Необходимо возвести в квадрат число (10а+Ь), где
Ь>=6. При обосновании метода будут использованы вы-
ражения для а через число десятков квадрата числа Ь.
а=26—10+1, если 6 = 6,
а=26—10, если 6 = 7, 8, 9,
в правильности которых легко убедиться непосредствен-
ной проверкой.
Составляем выражения согласно алгоритму метода
после элементарных преобразований убеждаемся, что
они равны (10а+Ь)2:
а) а* (а+1) * 100+(а+1) *а*10 + (Ь2—а * 10) = 100а2
+ 100а + а*а*10+а*10+62—а* 10==(10а+Ь)2;
б) (10а)2+2 * 10а* Ь+Ь2= (10а+Ь)2.
Решите самостоятельно:
1) 722= 3) 882= 5) 472 =
2) 642= 4) 932= 6) 662=
Ответы для проверки: 1) 5184; 2) 4096; 3) 7744; 4)
б) 2209; 6) 4356.