ки 9. Проверка с помощью 9 проста и выявляет больщую
часть ошибок, допускаемых при вычислениях. К сожале-
нию, способ не позволяет выявить ошибки в вычисле-
ниях, если в результате ошибки получилась величина
отличающаяся от правильной на число, кратное 9. Ка-
кие ошибки пропускает, не обнаруживает метод?
1) Прежде всего ошибки, к сожалению, возникающие
относительно часто при использовании малых вычисли-
тельных машин и т. д., — перемену цифр местами. Пояс-
ню на примере: оператору необходимо было найти про-
изведение чисел 25 784X425==? При наборе мно-
жимого по ошибке было набрано число 25 874. Фактиче-
ски было. найдено произведение 25 874X425=
— 10 996 450, но оператор считает, вполне естественно,
что найдено произведение
25 784X425=10 996 450.
Проверка не обнаруживает ошибку:
2+5+7+8+4 = 26, 2+6=8;
4+2 + 5=11, 1 + 1=2;
1+9+9+6+4+5 = 34, 3+4 = 7;
2X8=16, 1+6 = 7;
7=7.
Такого же типа ошибки (обмен местами двух цифр)
иногда допускают и машинистки при перепечатке число-
вых данных. Поэтому вычисления, проводимые на каких-
либо клавишных вычислительных машинах, нецелесооб-
разно проверить с помощью девятки.
2) Если произошла ошибка в 10 раз, с помощью опи-
санного метода найти ошибку не удается: числа 135,
1350, 13 500 и т. д. с точки зрения проверки девяткой
одни и те же. Кстати, не отличимы от них и числа 1305,
100 305 и т. д. Но чаще встречаются ошибки, когда «за-
бывают» о нулях на конце числа
3) Метод не позволяет обнаружить ошибки, если они
допущены в двух цифрах так, что сумма ошибок в циф'
рах равна нулю: если вместо числа 272 931 получено
число 472 731 (+2—2=0 — первая цифра увеличена на
2 единицы, но настолько же уменьшена четвертая циф-
ра), то проверка с помощью девятки бессильна выявить
ошибку. Но такого рода ошибки бывают достаточно ред-
ко, и ими можно пренебречь.
При вычислениях, выполняемых вручную, данный ме-
тод проверки правильности результатов является одним
из наиболее простых и эффективных. Конкурировать с
ни м может только метод проверки результатов с помо-
щью 11, который описан в следующем пункте.
ПРОВЕРКА С ПОМОЩЬЮ 11
Прием проверки результатов вычислений с помощью
остатков от деления чисел, участвующих в вычислитель-
ном процессе, на 11 очень похож на принцип проверки
вычислений с помощью остатков от деления, используе-
мых при вычислении чисел на 9. Незначительно сложнее
предыдущего приема проверки, метод позволяет, выяв-
лять ошибки, связанные с перестановкой цифр. Это де-
лает его более ценным, чем метод проверки с помощью 9.
Если вы не сталкивались ни с тем ни с другим методом
проверки, то стоит осваивать проверку с помощью спо-
соба, описываемого в данном пункте.
Техника нахождения остатка от деления числа на 11.
Признаки делимости на 11:
1) число делится на 11, если разность между суммой
цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоя-
щих на нечетных местах, равно 0 или делится на 11. Чис-
ло 1 462 032 делится на 11, так как разность 1—4+6—
—2 + 0—3+2 между суммой цифр, стоящих на четных
местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах,
равна 0; число 9 213 831 также делится на 11, ибо раз-
ность между суммой цифр, стоящих на нечетных и чет-
ных местах 3—1+9—0+9—2+1—3+8—3+1=22, рав-
на числу, делящемуся на 11 (к числу 22 мы можем опять
применить признак делимости чисел на 11, т. е. найти
разность цифр, стоящих на нечетных и четных местах,
2—2 = 0 и получить в итоге 0).
Разность может быть и отрицательная, это не имеет
значения:
48 392 817
4—8+3—9+2—8+1—7=—22
число делится на 11;
2) число делится на 11, если сумма двуцифирных гра-
ней числа делится на 11: число 311 475 901 делится на 11,
так как сумма 3+11+47+59+01 = 121 делится на 11.
Если вы затрудняетесь сказать, делится ли число 121 на
11, то примените признак еще раз: 1+21=22 — число
Делится на 11. Этот признак делимости можно применить
по-другому. При этом вычисления упростятся. Разбив
справа число на грани, складывать остатки от делени
числа каждой грани на 11. В приведенном примере пос-
ледовательность вычислений будет следующая:
3+0(11 —11=0)+3(47—44 = 3)+4(59—55 = 4) +1==11.
Для обладающих элементарными навыками вычисле-
ний данный вариант проверки делимости числа на 11
является наиболее простым.
Несколько примеров на нахождение остатка от деле-
ния числа на 11:
1) 35 412 539 784 — разбиваем на грани по 2 цифры
с правой стороны 3.54.12.53.97.84.
3+10+1+9+9+7=, находя сумму, отбрасываем чис-
ла, кратные 11:
3+10=13, 13—11=2; 2+1+9=12, 12—11 = 1;
1 +9+7= 17, 17—11=6; остаток равен 6;
2) 489 376 645
а) 4+1+4+0+1 = 10 — остаток равен 10,
б) 4—8+9—3+7—6 + 6—4+5=10 — результат
тот же;
3) 678 354 193
6+1+2+8+5 = 22, 22 делится на 11, следователь
но, число делится на 11 без остатка.
Проверка правильности вычислений с помощью
Принципы проверки результатов с помощью остатков
деления чисел, используемых в вычислениях, на 11 со-
вершенно аналогичны принципам проверки результатов
с помощью 9. Поэтому рекомендуем прочитать перед изу-
чением этого материала предыдущий пункт.
При сложении складываем остатки слагаемых
сравниваем с остатком суммы
37.92.95
15.43.21
+ 45.97.68
35.41.69
1.34.75.53
1) 4(37—33 = 4)+4(92—88 = 4) + 7(95—88 = 7)+
+ (15—11=4) +10(43—33=10) +10(21 — 11 = 10)+
+ 1(45—44) + 9(97—88 = 9) + 2(68—66 = 2) +2(35-
—33 = 2)+8(41—33 = 8)+3(69—66 = 3) =64, 64—55=9
2) 1,34, 75, 53.
1 + 1(34—33)+9(75—66 = 9)+9(53—44 = 9) =20,
20—11=9,
3) 9 = 9 — вычисления выполнены правильно.
Проверить правильность вычислений:
4.93.54 1) 4+5(93—88 = 5) + 10(54—44 = 10) = 19,
12.42 19—11=8,
1.81.12 2) 1 (12—11 = 1) +9(42—33 = 9) = 10,
3) 1+4(81—77 = 4) + 1 (12—11 = 1) =6,
4) 10 + 6=16, 16—11=5,
5) 8 = 5 — вычисления ошибочны.
Проверить результат: 694X375=26 025
1) 6+6(94—88 = 6) = 12, 12—11 = 1,
2) 3+9(75—66 = 9) = 12, 12—11 = 1,
3) 2+5(60—55 = 5)+3(25—22 = 3) = 10,
4) 1X1=1,
5) 10=\=1 —вычисления ошибочны.
Проверить результат: 694X375 = 260 250
1) 6+6(94—88=6) = 12, 12—11 = 1.
2)3+9(75—66 = 9) = 12, 12—11 = 1.
3) 4(26—22 = 4)+2 + 6(50—44 = 6) = 12, 12—11 = 1
4) 1X1 = 1,
5) 1 = 1 — вычисления выполнены правильно.
Проверить результат: 312 074:674 = 463, остаток 12.
1) 31.20.74, 9(31— 22 = 9) +9(20—11 =9) +8(74—66) =
1=26, 26--22 = 4,
2) 6.74, 6+8(74—66 = 8) = 14, 14—11=3,
3) 4.63, 4+8(63—55 = 8) = 12, 12—11 = 1,
4) 12—11 = 1,
5) 3X1 + 1=4,
6) 4 = 4 — вычисления выполнены верно.
Проверить результат: 6782=459 684
1) 45.96.84, 1(45—44=1)+8(96—88 = 8) +7(84—77 =
= 7) = 16, 16—11=5,
2) 6.78, 6+1(78—77=1) =7,
3) 7X7=49, 49—44 = 5,
4) 5 = 5 — вычисления правильны.
Проверьте результат: \/546 121=739
1) 54.61.21, 10+6+10 = 26, 26—22 = 4,
2) 7.39, 7+6=13, 13—11=2,
3) 2X2 = 4,
4) 4 = 4 — результат верен.
Метод проверки с помощью остатков от деления ис-
пользуемых в вычислениях чисел на 11 выявляет все
ошибки, кроме ошибок, при которых происходит измене-
ние числа на число, кратное 11, или изменение числа в
102п раз. Ошибку в 10 раз и вообще в 102п+1 раз метод
обнаруживает. Сравнивая возможности данного способа
проверки с проверкой девяткой, ясно видно его преиму.
щество. Проверьте самостоятельно правильность приво-
димых вычислений, но предварительно еще раз внима-
тельно прочтите предыдущий пункт — все замечания по
упрощению вычислений, приводимые в нем, надо исполь-
зовать и при проверке одиннадцатью.
1) 576X138X13=1033 354 2) 878X927 = 8 413 906
3) 6732=456 929 4) 12472=1 555 009
5) 65 432 6) 12 374 7) 693 387 8) 943 725
1 379 4 266 — 38 561 — 939 634
+.673 984 +57 639 655 826 4 091
2871 248
743 082 75 537
9) 189 086: 399 = 473, в остатке 359
10) 260 809: 1491 = 174, в остатке 1375.
11) \/2924287 =143 12) \/83521= 17
Ответы для проверки: примеры 2, 4 и 8 решены верно;
примеры 1, 3, 5, 6 и 7 —ошибочно.
Л ИТЕРАТУРА
Берман Г. Н. Приемы счета. М., Физматгиз, 1959.
Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М., Уч-
педгиз, 1948.
Каган Л. С. Устный счет и рационализация вычислений. — В
сб.: «Устный счет, рационализация вычислений и решение задач в
общем виде». Минск, Гос. изд-во при СНК БССР (Учебно-пед. ре-
дакция), 1940.
Катляр 3., Мак-Шейн Р. Система быстрого счета по
Трахтенбергу. Пер. с англ. М., «Просвещение», 1967.
Меннхен Ф. Некоторые тайны артистов-вычислителей. Одес-
са, 1923.
Попов И. Г. Устные вычисления. М., Учпедгиз, 1950.
Прищепенко Д. Ключ радикалов (извлечение корней всех
степеней посредством простого деления). Кронштадт. Тип. газеты
«Котлин», 1910.
Ришар Л. Быстросчет (стенаритмия). Искусство производить
в уме вычисления с быстротою мысли. Пер. с франц. С. В. Лурье.
М, 1927.
Фридман Л. М., Б е з г и н а М. А. Любопытный способ
деления целых чисел. — «Математика в школе», 1962, № 1, с. 62—63.
Чевелев И. И. Приемы устного счета и вычисления на счет-
ных приборах. М., «Просвещение», 1964.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.....................................................................3
Гл а в а I. Методы, упрощающие сложение и вычитание б
1. Устное сложение многозначных чисел... 6
2. Сложение методом «корневых» чисел... 7
3. Использование при сложении метода среднего числа
(формулы суммы арифметической прогрессии). 8
4. Соединение соседних разрядов при сложении и вы-
читании. 9
5. Использование округления чисел при сложении и
вычитании (метод использования «круглых» чисел) 11
6. Вычитание из чисел вида а-10п или а-10п+а, где
а мало................................................................... 12
Глава II. Методы, упрощающие умножение и деление 16
1. Использование порядка выполнения действий для
облегчения вычисления произведения...16
2. Общие методы, упрощающие умножение...22
3. Русский способ умножения и деления (способ изме-
нения сомножителей) 32
4. Разложение множителей на слагаемые...35
5. Метод, упрощающий умножение на число, в состав
которого входят цифры 6, 7, 8 и 9 («метод отрица-
тельных цифр») 35
6. Умножение чисел, близких к 10п, 2-10п, 5-10п,
а-10п (метод дополнений)..... 36
7. Умножение на число, близкое к 10п...56
8. Умножение на число вида 9; 99, 999,...,(10п—1) 60
9. Умножение чисел, у которых сумма цифр единиц
составляет 10..................................................................... 66
10. Умножение чисел, у которых число десятков одина-
ково, а сумма единиц сомножителей составляет 10,
и другие случаи.................................................. 69
11. Умножение чисел с равным числом десятков или с
равным числом единиц, или на число, состоящее из
одинаковых цифр •.......................................... 72
12. Нахождение произведений вида (а+Ь) • (а — Ь). 77
13. Умножение двузначных чисел, оканчивающихся на 1 77
14. Умножение чисел, заключенных между 10 и 20. 78
15. Деление многозначных чисел на число, близкое
к 10п (метод дополнений)...... 79
16. Деление на число, близкое к «круглому».. 82
17. Деление с использованием умножения (или деле-
ния) делимого и делителя на одно и то же число. 85
Глава III. Методы, позволяющие упростить возведение
1исла в степень и извлечение из числа корня п-й степени 87
1. Возведение в квадрат целого числа а, если известен
квадрат предыдущего (а— 1) или последующего
(а+1) натурального числа....87
2. Возведение в квадрат целого числа а при условии,
что известен квадрат числа (а—2) или числа (а+2) 88
3. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 25
и 75........... 89
4. Возведение в квадрат трехзначных чисел, оканчи-
вающихся на 5.......................................... 90
5 Возведение в квадрат чисел вида 50±а (или в об-
щем виде чисел вида 5-10п±а).....92
6. Общие методы, упрощающие возведение в квадрат
чисел вида а-10п±Ь, где а — любая значащая цифра,
Ь — число, квадрат которого известен...95
7. Возведение в квадрат произвольных двузначных
чисел.................................................... 98
8. Извлечение корня квадратного из четырехзначных
чисел, представляющих полный квадрат.. 100
9. Извлечение корня высших степеней из чисел, чис-
ло цифр в которых не превышает значение показа-
теля корня........................................................... 104