Когда в подкоренном числе число цифр не превышает
показателя корня, то корень определяется по последней
цифре подкоренного числа. Рассмотрим основные вари-
анты:
1) если подкоренное число оканчивается на 5, то эта
цифра и является ответом:.
А = 9\/1953125=5;
2) если остаток от деления показателя корня на 4
равен 1, то последняя цифра подкоренного числа являет-
ся ответом:
А = 13\/ 96854710407 13:4=3 и в остатке 1.
Следовательно, А = 7;
3) если тот же остаток равен 2, то по последней циф-
ре находятся два числа, одно из которых является отве-
том (исключение составляет окончание числа на 1, кото-
рое однозначно определяет искомое число 9). При пос-
ледней цифре 4 — это числа 2 и 8, при последней цифре
6 — это числа 4 и 6, при последней цифре 9 — это числа
3 и 9 (как из пары чисел выбрать правильный ответ, бу-
кет сказано ниже):
А = 14\/4398046511104 А = 2 или 8,
А= 10\/ 3486784401 А=9;
4) если остаток равен 3, то искомый корень равен
или последней цифре подкоренного числа, или ее допол-
нению до 10 (это справедливо и при нахождении корня
кубического):
19\/609359740010496 =6,
15V 4745880809943 =7,
5) остаток равен 0. Подкоренное число в этом случае
заканчивается либо на 1, либо на 6 (окончание числа на
5 мы не рассматриваем, так как этот случай оговорен в
первом пункте). Если число оканчивается на 6, то иско-
мый корень — одно из четных чисел 2, 4, б, 8. Если число
заканчивается на 1, то искомый корень одно.из нечетных
чисел 3, 7, 9:
А = 8\/ 43046721 А=3,7 или 9,
А=4\/1296 А=2,4,6 или 8.
Для окончательного определения значения корня
пользуются признаками делимости чисел, а также зави-
имостью между числом цифр в подкоренном числе и
назчением показателя степени: для выбора между циф-
рами 4и 6, 3 и 7 проверяем, делится ли оно на 3. Если
делится, то корень равен 6 или 3, в противном случае 4
или 7 соответственно. Выбор между цифрами 2—4—8 и
3-9 осуществляем по числу цифр в подкоренном числе:
если число цифр в подкоренном числе не превышает по-
ловины показателя корня, то искомый корень 2 или 3;
если оно больше половины, но не больше 3/4 его, то ко-
рень равен 4, и, наконец, если оно больше 3/4 то искомый
корень равен 8 или 9.
Первоначально создается впечатление, что метод
достаточно трудно использовать, так как трудно запом-
нить, какие числа соответствуют каким остаткам. Мож-
но не запоминать. Иногда проще составить табличку:
| 2 2 | 4 4 | 5 5 | 6 6 | 7 7 | 8 8 | 9 9 | ||
По горизонтали отложены цифры от 2 до 9. По верти-
кали степени этих чисел от 1 до 5. В таблице расположе-
ны цифры, на которые оканчиваются соответствующе
степени (например, 7 в 4 степени равно числу, которое
оканчивается на 1). Анализ таблицы обосновывает при-
менение метода и служит подсказкой к его применению
Неско лько поя сняющих примеров:
А= 10\/ 1048576. 10: 4 = 2 и 2 в остатке, подкоренное чис-
ло оканчивается на 6. Следовательно,
А = 4 или б. Проверяем, делится ли под-
коренное число на 3 (а следовательно,
и на 6, так как,число четное): 1+0+4+
+8+5+7+6=31, 31 на 3 не делится. От-
______ вет: А = 4.
А=8 \/16777216, 8:4 = 2, остаток = 0, А = 2, 4, 6 или 8.
6 исключается, так как 16 777 216 на 3
не делится. Так как в подкоренном чис-
ле число цифр>3/4 значения показателя
корня, то делаем вывод, что А = 8.
А=7\/823543, 7:4=1 и 3 в остатке, подкоренное чис-
ло оканчивается на 3, следовательно,
А = 3 или 7, число 823 543 на 3 не де-
лится. Ответ: А = 7.
Решите самостоятельно:
1) 13\/1594323 =
2)10\/9765625 =
3) 15\/1073 741824=
4) 7\/6377292 =
5) 8\/5764807 =
6) 9\/26214 4 =
Ответы для проверки: 1) 3; 2) 5; 3) 4; 4) 9; 5) 7; 6) 4.
Глава IV
ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ
ВЫПОЛНЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИИ
аиболее полную проверку можно произ-
вести, только вторично произведя полно-
стью вычисление другим методом или же произведя про-
верку обратным действием (сложение можно проверить
вычитанием, деление — умножением, умножение — делением и т. д.). Но проверка повторным вычислением очень трудоемка и поэтому может быть рекомендована только дляпроверки особо важных результатов в исключительых случаях. При обычных расчетах можно рекомендоть другие способы проверки, дающие хорошие резульаты и не требующие много времени для их проведения.
1. ПРОВЕРКА ВЫЧИСЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ 9
Метод нахождения остатка от деления числа на 9,
Вспомним признак делимости числа на 9: для того, что-
бы число делилось на 9, необходимо, чтобы сумма цифр
этого числа делилась на 9. Например, число 12 348 на 9
делится, так как сумма цифр числа 1+2+3+4+8=18
делится на 9 (18: 9=2), а число 12 345 на 9 не делится,
так как сумма цифр числа 1+2+3+4+5=15 на 9 не
делится. Больше того, можно сказать, какой -будет оста-
ток при делении числа 12 345 на 9. Для этого достаточно
разделить сумму цифр 15 на 9; получаем 15: 9=1 и 6 в
остатке. К полученной сумме цифр 15 мы можем опять
применить признак делимости числа на 9, т. е. сложить
цифры числа 15, и посмотреть, будет ли эта сумма де-
литься на 9: 1+5=6 на 9 не делится. Таким образом,
мы можем, складывая цифры произвольного числа, све-
сти сумму цифр к однозначному числу. Если это число
не будет равно 9, то число на 9 не делится и дает при де-
лении на 9 остаток, равный полученному числу. Рас-
смотрим число 4 879 876. Находим сумму цифр 4+8+7+.
+9 + 8+7+6 = 49, повторяем операцию 4+9=13, еще
раз повторяем операцию 1+3 = 4. Заключение — число
4 879 876 на 9 не делится. При делении на 9 дает оста-
ток 4.
При практическом нахождении суммы цифр много,
значных чисел можно воспользоваться следующими ре-.
комендациями:
1) выполняя сложение цифр, приводите к однознач-
ному числу промежуточные суммы, не дожидаясь полу-
чения окончательного результата. Сведение промежуточ-
ной суммы к однозначному числу целесообразно прово-
дить каждый раз, как только она становится неудобной
для дальнейшего счета. Найдем остаток от деления чис-
ла 48 457 384 на 9: 4+8=12, 12+4= 16 —сводим проме-
жуточную сумму к однозначному числу 1+6 = 7 и про-
должаем вычисление: 7+5=12; 12+7=19, 1+9=10,
1+0=1; 1+3 = 4; 4+8=12; 12+4=16; 1+6=7. Ответ:
остаток 7.
Результат не зависит от того, когда мы сводим про-
межуточные суммы к однозначному числу;
2) при подсчете суммы можно не обращать внимание
на встречающиеся в числе девятки или на группы цифр,
дающие в сумме 9 или на промежуточные суммы, рав-
ные 9. Результат от этого не изменится. Если число на 9
не делится, то остаток будет получен тот же. Если число
на 9 делится, то мы можем в итоге получить число 9 или
0. В последующем нам придется производить арифмети-
ческие действия с остатками. Помните, что выводы, ко-
торые будут сделаны из рассмотрения результатов вы-
числения, будут одни и те же, будет ли в них участвовать
9 или 0. Этим иногда можно воспользоваться, заменяя
для упрощения вычислений 9 на 0 или наоборот.
Найти остаток от деления числа 342 699 723 на 9:
3+4 = 7; 7+2 = 9 (отбрасываем); 0+6 = 6, 2 следующие
цифры во внимание не принимаем, так как это девятки;
последующие 2 цифры тоже во внимание не принимаем,
так как они в сумме дают 9(7+2); 6 + 3 = 9. В итоге по-
лучили 9 или (отбросив 9) 0. Это эквивалентно. Ответ:
число 342 699 723 делится на 9 без остатка.
Проверка с помощью 9 сложения и вычитания. В пре-
дыдущем пункте мы научились представлять число Ав
виде А = 9а+Ь (число а остается неизвестным). Рас
смотрим, чему равна сумма двух чисел, представленных
в таком виде А1+А2 = (9а1+Ь1) + (9а2 + Ь2) = 9 (а1+а2) +
+ (Ь+Ь2). Итак, если нам известны остатки слагаемых
от деления их на 9, то остаток суммы от деления ее на 9
|будет равен сумме остатков слагаемых (приведенных к
однозначному числу).
Используем это свойство для проверки правильности
выполнения сложения. Для проверки правильности на-
хождения суммы чисел
+ 2959
3541
12 355
находим сумму всех цифр слагаемых
3+8+2+4 + 2+3+1+2+9+5+9+3+5+4+1 =61,
и сводим ее к однозначному числу 6+1 = 7.
Находим сумму цифр суммы, тоже сведенную к одно-
значному числу
1+2+3+5 + 5=16, 1+6 = 7,
если сумма цифр всех слагаемых, сведенная к однознач-
ному числу, равна сумме цифр суммы, сведенной к одно-
значному числу, то сложение выполнено верно (о точно-
сти проверки данным методом смотри раздел на с. 114).
Аналогично проверяется и правильность выполнения
вычитания. Находим остатки уменьшаемого, вычитаемо-
го и разности. Далее выбираем один из двух вариантов:
1) складываем остатки вычитаемого и разности и
(сравниваем остаток полученной суммы с остатком умень-
шаемого. Равенство этих чисел говорит о правильности
полученного результата
12354 15 1+5 = 6 8+7=15 1+5 = 6 6 = 6.
- 278 8
12 076 7
Разность найдена правильно.
35 415 0 (при подсчете суммы отброшены девятки)
- 1360 1 8+1 =9, в уменьшаемом 0, что эквивалент-
34 055 8 но 9 (смотри предыдущий раздел). Резуль-
тат верен;
2) этот способ менее удобен: из остатка уменьшаемо-
го вычитаем остаток вычитаемого. Остаток разности
уравниваем с остатком разности.
Если при нахождении разности между остатками
уменьшаемого и вычитаемого окажется, что остаток
уменьшаемого меньше остатка вычитаемого, то предва-
рительно прибавляем к нему 9.
123431 5 1+2+3+4+3+1 = 14,1+4 = 5;
— 27 681 6 2+7+6+8+1=24,2+4 = 6, 6 больше 5-
95 750 8 5+9=14; 14—6 = 8;
9+5+7+5 = 26, 2+6=8; 8=8.
Первый метод тем и удобен, что не приходится прибе-
гать к вспомогательным операциям. -
Проверьте самостоятельно следующие вычисления-
1) 12 379 2) 27 845 3) 35 473 4) 459 373
52 485 35 424 — 1 294 — 368 594
+ 35 494 + 12 937 34 279 91779
67 13 9 65 989
167 497 142 196
Ответы для проверки: пример 1 решен верно, осталь-
ные — с ошибками.
Проверка с помощью 9 умножения и деления. Необ-
ходимым требованием правильности выполнения умно-
жения является равенство произведения остатков от де-
ления сомножителей на 9 остатку произведения от деле-
ния на то же число:
5429 5+4+2+9 = 20, 2+0 = 2;
Х2435 2+4+3+5=14, 1+4 = 5;
13 219 615 1+3+2+1+9+6+1+5 = 28,2 + 8=10,
1+0=1;
2X5=10; 1+0=1; 1 = 1 — вычисления верны.
27 936 2+7+9+3+6 = 27, 2+7=9 (или 0);
X 723 7+2+3=12,1+2 = 3;
20 197 728 2+1+9+7+7+2+8 = 36, 3+6 = 9.
Возможны два варианта:
1) 9X3 = 27,2+7=9 (при умножении любого числа
(кроме 0) на 9 получится число, сумма цифр которого
будет равна после сведения ее к однозначному числу 9)-
Сравниваем 9=9. Умножение выполнено правильно.
2) 0X3=0, но 0 в признаке делимости числа на -
эквивалентен девятке. Поэтому делаем заключение, что
умножение выполнено правильно.
На этом примере надо остановиться. Внимательно
просмотрев его, можно сделать следующий вывод: если
при проверке остаток от деления первого сомножителя
на 9 равен 0 (или 9), то нет смысла искать остаток от
деления второго сомножителя на девять. Сразу присту-
паем к нахождению остатка от деления произведения на
9. При правильном выполнении умножения этот остаток
должен быть равен 0 (или 9).
125 721 1+2+5+7+2+1 = 18, 1+8 = 9;
Х [ 459 остаток не находим;
5770 939 5+7+7+5+9+3+9=45, 4+5=9 — произве-
дение найдено верно.
Возникает вопрос — если мы не принимаем во внима-
ние второй сомножитель, насколько применим метод
проверки 9 в данном случае? Ведь я могу поставить вмес-
то второго сомножителя (459) любое другое число (на-
пример, 365), и проверка покажет, что произведение
найдено правильно. Проверка 9 не дает 100%-ной гаран-
тии правильности вычислений Подробнее о границах
применимости данной проверки сказано в разделе на с. 114.
Проверка правильности выполнения деления анало-
гична. Для проверки находим остатки от деления дели-
мого, делителя и частного на 9. Произведение остатков
делителя и частного должно равняться остатку дели-
мого:
824 901: 3571 =231,
2+3+1=6;
3+5+7+1 = 16, 1+6 = 7;
8+2+4+9+1 =24, 2+4 = 6;
6X7 = 42 4+2 = 6;
6 = 6 — частное найдено правильно.
Рассмотрим проверку правильности вычисления част-
ного в случае, когда число делится с остатком
14 937 381 ■ 3548 = 421, остаток 301.
случай не требует подробных объяснений, и можно огра-
ничиться приведением соответствующих выкладок:
1+4+9+3+7+3+8+1=36; 3+6 = 9;
3 + 5+4+8 = 20, 2+0 = 2;
4+2+1=7;
3+0+1=4;
2X7+4=18, 1+8 = 9;
9 = 9 — вычисление проведено верно,
проверьте самостоятельно следующие вычисления:
1) 397 2) 5931 3)238 464:324 = 736;
Х 424 X 1278 4) 36 653:196=187;
168 328 7 579 818
5) 33 113:239=138, остаток 131;
I
б) 483 718: 695 = 685, остаток 693.
Ответы для проверки: результаты примеров 1,2,3
и 5 — правильны; результаты примеров 4 и 6 —оши-
бочны.
Проверка с помощью 9 возведения числа в степень
извлечение корня п -й степени. Возведение числа в сте-
пень проверяется по тому же правилу, что и произведи-
ние. Различие здесь только в том, что сомножители оди-
наковые. Это позволяет несколько упростить проверку
Проверка вычислений в общем случае:
3592=128 881
3+5+9=17, 1+7=8;
1+2+8 + 8+8+1=28, 2+8=10, 1+0=1;
8X8 = 64,6+4=10, 1+0=1;
1 = 1 — вычисление выполнено правильно.
Учитывая, что нам приходится возводить в квадрат
остаток, который может быть равен от 1 до 8 (если ос-
таток равен 9, то мы ищем остаток результата, который
при правильном вычислении должен быть равен 9), най-
дем квадраты возможных остатков и сведем их к одно-
значному числу.
12=1; 22=4; 32=9; 42=16; 1+6 = 4; 52 = 25, 2+5=7;
62 = 36,3+6 = 9; 72=49,4+9=13; 1+3 = 4; 82=64,6+4=
= 10,1+0=1.
Нетрудно заметить, что остаток от деления квадрата
любого числа на 9 может быть равен только одному из
четырех чисел: 1, 4, 7 и 9. Поэтому проверку целесообраз-
но начинать с результата: если остаток результата равен
2, 3, 5, 6 или 8, то сразу можно сделать заключение об
ошибочности вычислений.
6792=461 051
4+6+1+5+1 = 17, 1+7 = 8.
Находить остаток от деления основания на 9 нет не-
обходимости: вычисления выполнены неверно.
5382=289 744
2+8+9+7+4+4 = 34, 3 + 4 = 7 —число возможное.
Продолжаем проверку:
5+3+8=16,1+6=7;
7X7 = 49, 4 + 9=13, 1+3 = 4;
4=\=7 — вычисления выполнены неверно.
На проверке вычисления корня п-й степени останавли-
ваться специально нет смысла, так как проверка произ-
водится аналогично проверке возведения в степень, что
будет показано на примерах.
Рассмотрим примеры проверки возведения в степень
и извлечения корня:
384=2 085 136
2+8+5+1+3+6 = 25, 2+5 = 7;
3+8=1, 1 + 1=2;
24=16, 1+6 = 7;
7 = 7 — вычисление выполнено верно.
3\/ 10 592 = 48
1 + 1+5+9 + 2=18, 1+8 = 9;
4+8=12, 1+2 = 3;
33=27, 2+7 = 9;
9=9 — вычисление выполнено верно.
6662=443 556
4+4+3+5+5+6 = 27, 2+7 = 9;
6+6+6=18, 1+8 = 9.
Нет необходимости возводить 9 в квадрат, мы все
равно получим в итоге 9:
9 = 9 — вычисления выполнены верно
78 = 5 764 801
5+7+6+4+8+1=31, 3+1=4.
Как быть с 78? Вычислять восьмую степень 7 — зна-
чит повторить вычисления. Но выход есть:
72=49, 4+9=13, 1+3 = 4
для 74 4X4=16, 1+6 = 7; (используем результат преды-
дущих вычислений и оперируем с остатками); для 78
7X7 = 49, 4+9=13, 1+3 = 4; здесь также используем
результат предыдущих вычислений.
Приводя разбор примеров, я везде нахожу полную
сумму цифр числа с учетом всех девяток. Это делается
только для наглядности, чтобы не было сомнений, циф-
ры какого числа складываются. При практическом на-
хождении остатка не забывайте использовать методы,
Упрощающие его нахождение, изложенные в начале
главы.
проверьте самостоятельно результаты вычислений:
1) 2532=64 809; 3) 3\/4 330 747=163;
2) 57 = 78 125; 4) 157X324X29=1475 172;
5) 133= 2097;
6) 4442=197 136;
Ответы для проверки: в примерах 2, 3 и 6 вычисления
выполнены правильно; в примерах 1., 4, 5 — ошибочно.