Интересующая нас верхняя грань ошибки d есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.
Случайная величина Х распределена нормально и её среднее квадратичное отклонение d известно.
В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки
, (10.4)
где n число испытаний (разыгранных значений Х); t – значение аргумента функции Лапласа, при котором 
, s - известное среднее квадратичное отклонение Х.
Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение s неизвестно.
В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки
, (10.5)
где n – число испытаний; s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение, 
находят по таблице приложения 3 [12].
Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.
В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной g, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (10.4), если среднее квадратическое отклонение s случайной величины Х известно; если же s неизвестно, то можно подставить в формулу (10.4) его оценку s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (10.5). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при 
распределение Стьюдента стремится к нормальному.
Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.
Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании.
4. Этапы метода Монте-Карло. Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)состоит из нескольких этапов:
1. Построение математической модели системы, описывающей зависимость моделируемых характеристик от значений стохастических переменных.
2. Установление распределения вероятностей для стохастических переменных.
3. Установление интервала случайных чисел для каждой стохастической переменной и генерация случайных чисел.
4. Имитация поведения системы путем проведения многих испытаний и получение оценки моделируемой характеристики системы при фиксированных значениях параметров управления. Оценка точности результата.
Первый этап. Стохастическая имитационная модель (ИМ) потери деталями работоспособности может быть представлена как динамическая система, которая под воздействием внешних случайных входных сигналов (режимов эксплуатации техники, уровня надежности и т.п.) изменяет свое состояние (изнашивается рабочая поверхность, трещины и т.п.), что в свою очередь приводит к изменению выходных сигналов (точность позиционирования детали в механизме, КПД машины и т.п.).
Второй этап. Случайные величины, используемые в имитационном моделировании, могут быть дискретными или непрерывными. В первом случае необходимо знать их распределения, во втором — плотности распределений. Эти зависимости могут быть известны из теории, определены в результате специальных исследований либо заданы в качестве гипотезы. Точность модели (при прочих равных условиях) зависит от того, насколько точно заданы указанные распределения (плотности распределений).
Третий этап. Моделирование случайных величин при компьютерных имитационных экспериментах производится с помощью датчика псевдослучайных чисел, предусмотренного в любом современном языке программирования. Обычно это датчик случайных чисел с равномерным распределением на интервале {0, 1}. Если известны вероятности наступления событий, то, используя такой датчик, можно отвечать на вопросы. «Какое из N возможных событий произошло?» или «Какое значение приняла случайная величина?»
Предположим, что в ИМ используется случайная величина X, принимающая дискретные значения х1, х2,..., xN с вероятностями соответственно p1, p2,...,pN (
). Получение некоторой реализации этой переменной в модели производится следующим образом.
Строится функция распределения случайной величины X. Указанная функция определяется посредством равенства F(X) = Spk, в котором суммирование распространяется на все индексы, для которых хк < X. С помощью датчика случайных чисел получают случайное число и из отрезка {0,1}.
Из равномерности распределения получаемых случайных чисел следует, что вероятность получения случайного числа из произвольного интервала, включенного в {0, 1}, равна длине этого интервала [12]. Поэтому вероятность реализации Х= хк равна вероятности попадания полученного от датчика случайного числа и в произвольный интервал длиной pk на отрезке {0,1}. Можно, таким образом, утверждать, что если очередное число u датчика удовлетворяет неравенствам 0 < и < p1, то имеет место реализация Х=х1; в случае р1 < и < р1 + р2 — реализация Х= x2 и т.д.
В общем случае для к = 2,..., N: если 
, то X= хк.
Четвертый этап. Точность статистических оценок параметров реальной системы зависит от числа наблюдений (объема выборки). Погрешности в оценках обусловлены как статистическим характером самой модели, так и влиянием начальных данных (начального состояния имитационной системы), а также возможной автокорреляцией последовательных значений некоторого параметра в процессе моделирования. Очевидно, что с увеличением числа испытаний точность моделирования должна возрастать. Ввиду того что увеличение объема выборки связано с ростом затрат на моделирование, важно уметь определять минимальное число испытаний, необходимое для достижения заданной точности оценки с заданной вероятностью.
5. Принципы оценки адекватности и точности имитационных моделей. Имитационное моделирование реализуется с помощью математических инструментальных средств, специальных компьютерных программ и приемов, которые позволяют с помощью компьютера провести целенаправленное моделирование в режиме «имитации» структуры и функций сложного процесса и оптимизацию некоторых его параметров. При имитационном моделировании происходит запуск в компьютере взаимодействующих вычислительных процессов, которые являются по своим временным параметрам аналогами исследуемых процессов.
Процесс последовательной разработки имитационных моделей начинается с создания простой модели, которая постепенно усложняется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к результату разрешения некоторой проблемы.
Метод имитационного моделирования. В самом общем виде представляет собой экспериментальный метод исследования реальной системы по ее имитационной модели, который сочетает особенности экспериментального подхода и специфические условия использования вычислительной техники.
В процессе имитационного моделирования (рисунок 10.1) исследователь имеет дело с четырьмя основными элементами:
· реальная система;
· логико-математическая модель моделируемого объекта;
· имитационная (машинная) модель;
· ЭВМ, на которой осуществляется имитация – направленный вычислительный эксперимент.
Рисунок 10.1 - Процесс имитационного исследования
Этапы имитационного моделирования и прогнозирования. Этапами имитационного моделирования и прогнозирования являются:
· формулировка проблемы и определение целей имитационного исследования;
· разработка концептуального описания;
· формализация имитационной модели;
· программирование имитационной модели;
· сбор и анализ исходных данных;
· испытание и исследование модели, проверка модели;
· планирование и проведение имитационного эксперимента;
· планирование и проведение сценарных прогнозов.
Таким образом, технологические этапы разработки имитационной модели и их последовательность показаны на рисунке 10.2.
Рисунок 10.2 - Технологические этапы разработки ИМ и их последовательность
Формулировка проблемы и определение целей имитационного исследования. На этом этапе определяется и детально изучается объект моделирования, те стороны его функционирования, которые представляют интерес для заказчика. Результатом работ на данном этапе является содержательное описание объекта моделирования с указанием целей имитационного моделирования и тех аспектов функционирования объекта моделирования, которые необходимо изучить на имитационной модели. Содержательное описание составляется в терминологии реальной системы, на языке предметной области, понятном заказчику.
Общая последовательность действий на этом этапе следующая:
· сбор данных об объекте моделирования;
· составление содержательного описания объекта моделирования;
· изучение проблемной ситуации – определяется постановка задачи;
· уточнение целей моделирования;
· осуществляется выбор метода моделирования.
Цели моделирования определяют общий замысел модели и определяют все последующие этапы имитационного моделирования. Поэтому необходимо правильно сформулировать цели моделирования заранее. Для решения этой проблемы используется следующий системный подход, изображенный на рисунке 10.3.
Рисунок 10.3 - Системный подход по определению целей моделирования и методов их решения
Примером целей моделирования могут служить оценка, прогнозирование, оптимизация, сравнение альтернатив и др.
Оценка – определение, насколько хорошо система предлагаемой структуры будет соответствовать некоторым конкретным критериям.
Сравнение альтернатив – сопоставление конкурирующих систем, рассчитанных на выполнение определенной функции, или же на сопоставление нескольких предлагаемых рабочих принципов или методик.
Прогноз – оценка поведения системы при некотором предполагаемом сочетании рабочих условий. Анализ чувствительности – выявление из большого числа действующих факторов тех, которые в наибольшей степени влияют на общее поведение системы. Выявление функциональных соотношений – определение природы, зависимости между двумя или несколькими действующими факторами, с одной стороны, и откликом системы с другой. Оптимизация – точное определение такого сочетания действующих факторов и их величин, при котором обеспечивается наилучший отклик всей системы в целом.
Разработка концептуального описания. На этом этапе составляется концептуальная модель – т.е. логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы. Основное содержание этого этапа – формулировка общей цели модели, переход от реальной системы к логической схеме ее функционирования. Здесь приводится описание объекта в терминах математических понятий и алгоритмизация функционирования ее компонент. Концептуальное описание представляет собой упрощенное алгоритмическое отображение реальной системы. Схематично общее содержание этого технологического перехода демонстрируется на рисунке 10.4.
Рисунок 10.4 - Переход от реальной системы к логической схеме её функционирования
При разработке концептуальной модели определяются границы системы, приводится описание внешней среды, выделяются существенные элементы и дается их описание, формируются переменные, параметры, функциональные зависимости как для отдельных элементов и процессов, так и для всей системы, ограничения, целевые функции (критерии).
Построение концептуальной модели начинается с того, что на основе цели моделирования устанавливаются границы моделируемой системы, определяются воздействия внешней среды. Выдвигаются гипотезы и фиксируются все допущения (предположения), необходимые для построения имитационной модели. Обсуждается уровень детализации моделируемых процессов.
Далее на этом этапе осуществляется декомпозиция системы. Определяются наиболее существенные в смысле сформулированной проблемы элементы системы (выполняется структурный анализ моделируемой системы) и взаимодействия между ними, выявляются основные аспекты функционирования моделируемой систем (составляется функциональная модель), приводится описание внешней среды. В описание системы должны быть включены критерии эффективности функционирования системы. Затем в модели определяют некоторую комбинацию таких составляющих, как компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости, ограничения, целевые функции (критерии).
Под компонентами понимают составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Параметрами являются величины, которые исследователь можно выбирать произвольно, в отличие от переменных модели, которые могут принимать только значения, определяемые видом данной функции. Функциональные зависимости описывают поведение переменных и параметров в пределах компоненты или же выражают соотношения между компонентами системы. Ограничения представляют собой устанавливаемые пределы изменения значений переменных или ограничивающие условия их изменений.
Целевая функция (функция критерия) представляет собой точное отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения.
Формализация имитационной модели. На третьем этапе имитационного исследования осуществляется формализация объекта моделирования. Процесс формализации сложной системы включает:
· выбор способа формализации;
· составление формального описания системы.
Основная задача этапа формализации – дать формальное описание системы, свободное от второстепенной информации, имеющейся в содержательном описании и алгоритмическое представление объекта моделирования. Цель формализации – получить формальное представление логико-математической модели, т.е. алгоритмов поведения компонент системы и отразить на уровне моделирующего алгоритма взаимодействия между собой этих компонент.
Наиболее известные и широко используемые на практике концепции формализации:
· агрегативные системы и автоматы;
· сети Петри и их расширения;
· модели системной динамики.
Программирование имитационной модели. На данном этапе формальное описание модели сложной системы преобразуется в модель в соответствии с некоторой методикой (дисциплиной) программирования, с применением языков и систем моделирования. Важным моментом здесь является корректный выбор инструментального средства для реализации имитационной модели. Одним из лучших и универсальным пакетом имитационного моделирования является AnyLogic, разработка компании Экс Джей Текнолоджис. Данный пакет имитационного моделирования позволяет создавать модели непрерывных систем, модели дискретно-событийных систем, модели динамических систем, модели системной динамики, стохастические модели и агентные модели.
Сбор и анализ исходных данных. Основные методы получения исходных данных:
· из существующей документации на систему (это могут быть данные официальных и других отчетов, статистические сборники, – например, для социально-экономических систем, финансовая и техническая документация – для производственных систем и др.);
· физическое экспериментирование. Часто для задания исходной информации необходимо провести натурные эксперимент на моделируемой системе или ее прототипах.
Испытание и исследование модели, проверка модели. На практике выделяют 3 основные категории оценки:
· Оценка адекватности или валидация модели
В общем случае валидации предполагает проверку соответствия между поведением имитационной модели и исследуемой реальной системы. Валидация модели есть подтверждение того, что модель в пределах рассматриваемой области приложений ведет себя с удовлетворительной точностью в соответствии с целями моделирования.
· Верификация модели
Это проверка на соответствие поведения модели замыслу исследователя и моделирования. Т.е. процедуры верификации проводят, чтобы убедиться, что модель ведет себя так, как было задумано. Для этого реализуют формальные и неформальные исследования имитационной модели. Верификация имитационной модели предполагает доказательство
возможности использования создаваемой программной модели в качестве машинного аналога концептуальной модели на основе обеспечения максимального сходства с последней. Цель процедуры верификации – определить уровень, на котором это сходство может быть успешно достигнуто. Валидация и верификация имитационной модели связаны с обоснованием внутренней структуры модели, в ходе этих процедур проводят ся испытания внутренней структуры и принятых гипотез, исследуется внутренняя состоятельность модели.
· Валидация данных
Валидация данных направлена на доказательство того, что все используемые в модели данные, в том числе входные, обладают удовлетворительной точностью и не противоречат исследуемой системе, а значения параметров точно определены и корректно используются. С этой целью проводят исследование свойств имитационной модели: оценивается точность, устойчивость, чувствительность результатов моделирования.
Верификация имитационной модели. На этапе верификации устанавливается верность логической структуры модели, реализуется комплексная отладка с использованием средств трассировки, ручной имитации, в ходе которой проверяется правильность реализации моделирующего алгоритма. Комплексные процедуры верификации включают неформальные и формальные исследования. Неформальные процедуры могут состоять из серии проверок следующего типа:
· проверка преобразования информации от входа к выходу;
· трассировка модели на реальном потоке данных;
· обязательное масштабирование временных параметров в зависимости от выбранного шага моделирования;
· тестирование модели для критических значений и при наступлении редких событий;
Формальные процедуры связаны с проверкой исходных предположений выдвинутых на основе опыта, теоретических знаний, интуитивных представлений, на основе имеющейся информации.
Валидация данных имитационной модели. Валидация данных имитационной модели предполагает исследование свойств имитационной модели, в ходе которого оценивается точность, устойчивость, чувствительность результатов моделирования и другие свойства имитационной модели. Наиболее существенные процедуры исследования свойств модели:
· оценка точности результатов моделирования;
· оценка устойчивости результатов моделирования;
· оценка чувствительности имитационной модели.
Под устойчивостью результатов имитации будем понимать степень нечувствительности ее к изменению условий моделирования. Устойчивость результатов моделирования характеризуется сходимостью контролируемого параметра моделирования к определенной величине при увеличении времени моделирования. На практике, рекомендуется устойчивость результатов моделирования оценивать дисперсией значений отклика (по выбранной компоненте). Если эта дисперсия при увеличении времени моделирования не увеличивается, значит, результаты моделирования устойчивы.
Анализ чувствительности модели определяет оценку влияния колебаний значений входных переменных на отклики (выходные переменные) модели.
Планирование и проведение имитационного эксперимента.
Имитационный эксперимент, содержание которого определяется:
· предварительно-проведенным аналитическим исследованием (являющимся составной частью вычислительного эксперимента);
· результаты которого, достоверны и математически обоснованы, называется направленным вычислительным экспериментом.
Среди распространенных целей моделирования выделяют следующие:
· Оценка выходных переменных при заданных параметрах системы.
· Сравнение альтернатив (или выбор на множестве альтернатив).
· Получение знаний о влиянии управляемых параметров на результаты эксперимента.
· Определение тех значений входных параметров и переменных, при которых достигается оптимальный выход.
· Вариантный синтез.
Основным содержанием анализом чувствительности является определение влияния управляемых параметров, переменных (факторов) на результаты экспериментов (отклик). Задача поиска оптимума сводится к поиск оптимальных значений на некотором множестве возможных значений переменных. В задачах оптимизации необходимо найти экстремум функции F. Вариантный синтез, это более сложный класс вычислительных экспериментов, как правило, связанный с многокритериальной оптимизацией.
Ниже в таблице 10.1 приведены типы вычислительных экспериментов в зависимости от целей имитационного моделирования.
Планирование и проведение сценарных прогнозов. Многовариантность развития событий, обусловленная действием непредсказуемых факторов, учитывается путем сценарного прогнозирования. Сценарный прогноз является специфическим методом прогнозирования. Это своего рода - метод описания логически последовательного процесса, события исходя из сложившийся ситуации. Основное назначение сценария – определение генеральной цели развития прогнозируемого объект. Сценарий является некоторой оценкой возможного развития. Каждый сценарий связывает изменение внешних условий с результирующими переменными.
Таблица 10.1- Основные типы направленных вычислительных экспериментов
| Цели вычислительного эксперимента | Тип направленного вычислительного эксперимента |
| Оценка выходных переменных при заданных параметрах системы. | Оценка и сравнение средних и дисперсий различных альтернатив |
| Сравнение альтернатив (или выбор на множестве альтернатив) | Оценка и сравнение средних и дисперсий различных альтернатив |
| Получение знаний о влиянии управляемых параметров на результаты эксперимента | Анализ чувствительности |
| Определение тех значений входных параметров и переменных, при которых достигается оптимальный выход | Поиск оптимума на множестве возможных значений переменных |
| Вариантный синтез | Многокритериальная оптимизация, выбор |
Применение имитационного моделирования и сценарного подхода позволяет принимать эффективные управленческие решения для следующего круга задач:
· прогнозирование и анализ последствий управленческих решений;
· исследование эффективности и сравнение принимаемых мер;
· выбор либо построение оптимального решения.
Для того, что бы построить прогноз по заданному показателю необходимо:
· на основе анализа чувствительности выбранного показателя выбирать критерии с максимальным коэффициентом эластичности.
· используя выбранные критерии построить несколько сценарных прогнозов (обычно три(оптимистический, реалистичный, пессимистический)).
· используя имитационную модель получить результаты прогноза показателя
· используя результаты полученного прогноза определить наиболее близкий прогноз с фактическими данными и составить на основе этого скорректированные сценарии.
· используя имитационную модель получить результаты прогноза показателя
· если результаты наиболее близкого по значению сценарии удовлетворяют выбранным критериям точности, то перейти на следующий шаг, иначе вернуться на два шага назад.
· на основе полученного сценария составить прогноз параметра на будущий период.
Лекция № 11