Численное дифференцирование. Пример





Численное дифференцирование используется для приближенного вычисления производных функции заданной таблицей и для функций, которые по разным причинам неудобно или невозможно дифференцировать аналитически. В последнем случае вычисляется таблица функции в окрестности исследуемой точки и по этим значениям вычисляется приближенное значение производной.

Итак, пусть в точках xi , i=0,1,2,...n известны значения функции yi=f(xi) . Способ построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по табличным точкам строится интерполяционный полином Pn(x) который дифференцируется нужное число раз и делается допущение о том, что производная от функции приблизительна равна производной от интерполяционного полинома .

Погрешность такой формулы характеризуется k-той производной от ошибки интерполяции .

При кусочно-линейной интерполяции по равноотстоящим узлам xi=x0+i h

получим очевидную формулу для x

(1)

либо, если использовать интерполяцию вида

для получим

(2)

Формулы (1) и (2) называются правым разностным соотношением и левым разностным соотношением, их можно было бы записать сразу используя определение производной и не привлекая интерполяцию как промежуточный этап. Однако для получения более точных формул и для вычисления производных высших порядков без интерполирования не обойтись.

Дифференцируя интерполяционный многочлен в виде первой формулы Ньютона получим

(3)

где q=(x-x0)/h

Такая форма записи позволяет последовательно получать формулы дифференцирования различной степени точности, но для практических вычислений более удобна форма содержащая не конечные разности, а значения функции в табличных точках. Так при квадратичной интерполяции для получим

(4)

Если требуется вычислить производную в одной из табличных точек, то формулы упрощаются. В частности, для x=xi по формуле (4) получим

. Это так называемое центральное разностное отношение.

При x=x0 из (4) получим выражение

а при кубической интерполяции получаем

Формулы для вычисления производных второго порядка получаются путем повторного дифференцирования интерполяционного полинома . Например, дифференцируя (3) еще раз и подставляя x=x0получим

При использовании значений функции вместо конечных разностей для квадратичной интерполяции получим формулу

При численном дифференцировании возникает методическая ошибка, вызванная заменой функции f(x) интерполяционным многочленом Pn(x), и ошибка округления, вызванная неточным заданием значений функции в табличных точках. Методическая погрешность оценивается производной от ошибки интерполирования и при уменьшении шага, как правило, уменьшается. В частности для формулы (1) величина методической погрешности оценивается соотношением

,где

Погрешность округления для всех случаев оценивается величиной где б -абсолютная погрешность исходных значений f(xi).

Таким образом, методическая погрешность при уменьшении шага интерполирования уменьшается, а погрешность округления обратно пропорциональна шагу и при уменьшении шага может как угодно сильно исказить получаемый результат, т.е. численное дифференцирование неустойчиво. Исходя из этого шаг следует выбирать таким, чтобы суммарная погрешность была минимальна.

В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):

f(r)(x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N

Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.

Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [x0 , xN] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная.

Рассмотрим разложения в ряд Тейлора

(1)

. (2)

Здесь – величина порядка (С – некоторая постоянная). Из (1) найдем

(3)

где – величина порядка h.

Другой способ построения формул численного дифференцирования приводит к тем же формулам - метод неопределённых коэффициентов. Чаще всего метод используется в многомерном случае, когда построить интерполяционный многочлен достаточно сложно. В этом случае коэффициенты численного дифференцирования ci выбираются из того, чтобы формула была точна для многочленов максимально высокой степени. Пусть и потребуем, чтобы для такого многочлена соотношение для f(k)(x) обратилось в равенство: . Чтобы равенство выполнялось для любого многочлена степени m , необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при aj в правой и левой частях были равны (xj)(k) = j(j − 1)...(j − k + 1)xj − k. Получаем систему уравнений: относительно ci. Если m = n − 1, то число уравнений равно числу неизвестных. Определитель системы (определитель Вандермонда)отличен от нуля , то есть всегда можно построить формулу численного дифференцирования с n узлами, точную для многочленов степени n − i.

Пример

Вычислить точное и приближенное значения производной функции y=x*x в точке x=1 с шагом h=1 и h=0.001.

Аналитическое решение: y'=2x , y'(1)=2

Численное решение для шага: h=1

,

для шага h=0.001

 





Читайте также:
Решебник для электронной тетради по информатике 9 класс: С помощью этого документа вы сможете узнать, как...
Что такое филология и зачем ею занимаются?: Слово «филология» состоит из двух греческих корней...
Тема 5. Подряд. Возмездное оказание услуг: К адвокату на консультацию явилась Минеева и пояснила, что...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-26 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.012 с.