Классический метод для функции одной переменной
На рис. 1.1 дано графическое представление функции f(x), которая имеет локальный минимум в точке 
и глобальный минимум в точке 
.
Классический подход к задаче нахождения значений и состоит в поиске уравнений, которым они должны удовлетворять. Представленная на рис. 1.1 функция и ее производные непрерывны, и видно, что в точках и производная 
(градиент функции) равна нулю. Следовательно, и будут решениями уравнения 
. (1.1)
Точка 
, в которой достигается локальный максимум, и точка 
, в которой имеется точка горизонтального перегиба функции, также удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, уравнение является только необходимым условием минимума, но не является достаточным условием минимума.
Рис. 1.1
Заметим, однако, что в точках и производная 
меняет знак с отрицательного на положительный. В точке знак меняется с положительного на отрицательный, в то время как в точке он не меняется. Следовательно, производная в минимуме является возрастающей функцией, а поскольку степень возрастания измеряется второй производной, можно ожидать, что 
.
Если, однако, вторая производная равна нулю, ситуация остается неопределенной.
Полученные выше результаты могут найти надежное обоснование, если рассмотреть разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки (или , или ), что, конечно, требует непрерывности функции f(x) и ее производных:
(1.2)
Если в точке достигается минимум, то левая часть (1.2) будет неотрицательной для любого достаточно малого h (
). Следовательно, первая производная 
должна быть равна нулю, и это является достаточным условием (см. уравнение (1.1)). Если бы она была положительной, то достаточно малое отрицательное значение h делало бы правую часть (1.2) отрицательной, а если бы она была отрицательной, то достаточно малое положительное значение h делало бы правую часть отрицательной.
Так как в следующем члене (1.2) всегда 
, то, если 
, в точке достигается минимум. Если 
, то из аналогичных соображений в точке достигается максимум. Для определения различия между локальным и глобальным минимумами необходимо сравнить значения функций 
.
Пример:
Исследовать характер точек перегиба 
Тогда х = 1/3 или 1.
При x=1/3 производная меняет знак с + на -, а при x=1 c – на +. Следовательно, в точке 1/3 максимум, в точке 1 минимум.
Этот пример может быть решен более простым способом, если вычислить вторую производную 
,, т. е. отрицательна, и при x = 1/3 достигается максимум;
, т. е. положительна, и при х = 1 достигается минимум.
Неоднозначность, возникающую при f"(x) = 0, можно разрешить, увеличив количество членов в формуле разложения в ряд Тейлора:
При этом можно сформулировать следующее правило:
Если функция f(х) и ее производные непрерывны, то точка является точкой экстремума (максимума или минимума) тогда, и только тогда, когда n четное, где n — порядок первой необращающейся в нуль в точке производной. Если 
, то в точке достигается максимум, если 
, то в точке достигается минимум.