Геометрический смысл производной

1. Доказательство:

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса (в математическом анализе и общей топологии) гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани), она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

2. Геометрический смысл теоремы Ролля:

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

3. Следствие:

Если непрерывная функция обращается в ноль в различных точках, то ее производная обращается в ноль, по крайней мере, в различных точках, причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

· Формула конечных приращений или теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что:

если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

Геометрически это можно переформулировать так:

на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование:

Пусть расстояние точки в момент от начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента до момента , отношение средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени , то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Доказательство:

· Теорема Коши о среднем значении

Геометрически это можно переформулировать так:

Если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .

Доказательство:

Для доказательства введем функцию:

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю, а равна как раз необходимому числу.

· Возрастание и убывание функции

Функция называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек ,

выполняется неравенство , и строго возрастающей — если выполняется неравенство . Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции.

Например, функция (рис., а) строго возрастает на отрезке [0,1], а (рис., б) строго убывает на этом отрезке.

Возрастающие функции обозначаются ↑, а убывающие ↓. Для того чтобы дифференцируемая функция была возрастающей на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы её производная была неотрицательной на .

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция называется возрастающей в точке , если найдётся такой интервал , содержащий точку , что для любой точки из ,выполняется неравенство , и для любой точки из , выполняется неравенство

.

Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке .

Если , то функция строго возрастает в точке . Если возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

· Достаточные условия экстремума функции.

Пусть функция f (x) определена всюду в некоторой окрестности точки C. Говорят, что функция f (x) имеет в точке C локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки C, в пределах которой значение f (с) является наибольшим (наименьшим).

Локальный максимум и минимум объединяются общим названием экстремум.

1) Первое достаточное условие экстремума.

Теорема 1.

Пусть

- точка C является точкой возможного экстремума функции f (x),

- f (x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки C.

Тогда, если в пределах указанной окрестности слева от точки C и справа от точки C, то функция f (x) имеет в точке C локальный максимум (минимум). Если же f’ (x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки C, то экстремума в точке C нет.

Доказательство.

1). Пусть слева от точки с и справа от C. Обозначим x ₀ ¹ c любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности. Достаточно доказать, что

Функция f (x) дифференцируема (а, следовательно, непрерывна) на сегменте . По формуле Лагранжа (формула конечных приращений)

где C лежит между b и a. Т.к. при и при , то правая часть положительна (отрицательна).

2). Пусть теперь f’ (x) имеет один и тот же знак слева и справа от C. Обозначая через x ₀ любое значение аргумента, отличное от C, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы докажем, что правая часть имеет разные знаки слева и справа от C. Это доказывает отсутствие экстремума в точке C.

Теорема доказана.

Вытекающее из Теоремы 1. правило

1). Если при переходе через данную точку с возможного экстремума производная f’ (x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f (x) имеет в точке с локальный максимум (минимум).

2). Если же при переходе через данную точку с возможного экстремума производная f’ (x) не меняет знака, то экстремума в точке с нет.

Пример.

, x = 2 – точка возможного экстремума. Т.к. как слева, так и справа от

x = 2, то экстремума в этой точке нет.

2) Второе достаточное условие экстремума.

Теорема 2.

Пусть функция f (x) имеет в данной точке с возможного экстремума конечную вторую производную.

Тогда f (x) имеет в точке с максимум, если , и минимум, если .

Доказательство.

Из условия и из Теоремы

(Теорема: Если функция f (x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке C.)

вытекает, что f’ (x) убывает (возрастает) в точке C. Поскольку по условию f’ (с) = 0, то найдется такая окрестность точки C, в пределах которой слева от C и справа от C.

Тогда по Теореме 1 f (x) имеет в точке с максимум (минимум).

Теорема доказана.

Замечание.

Теорема 2 имеет более узкую сферу действия, чем Теорема 1, т.к. не решает вопрос об экстремуме для случая, когда не существует в точке C, а также .

Пример

- точки возможного экстремума

3) Третье достаточное условие экстремума и перегиба.

Теорема 3.

Пусть

- n ³ 1 – целое число

- функция имеет производную порядка n в некоторой окрестности точки с и производную порядка n + 1 в самой точке С

- справедливы следующие соотношения:

Тогда, если n является четным числом, график функции имеет перегиб в точке M(c, f(c)). Если же n является нечетным числом и, кроме того, , функция имеет локальный экстремум в точке с, точнее, локальный минимум при и локальный максимум при .

Доказательство (для случая экстремума)

Пусть n ³ 1 является нечетным числом и . Т. к. при n = 1 теорема совпадает с Теоремой 2, то достаточно провести доказательство для нечетного n ³ 3. Для определенности проведем рассуждения для случая . Для случая они проводятся аналогично.

Из условия и из Теоремы

(Теорема: Если функция f (x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке С), примененной к вытекает, что эта функция возрастает в точке С. Кроме того, , то это означает, что найдется достаточно малая окрестность точки с, в пределах которой отрицательна слева от С и положительна справа от С. Разложим f’ (x) в окрестности точки С в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Мы получим, что для всех x из достаточно малой окрестности точки С между С и X найдется точка x такая, что

Соотношения и условие позволяют переписать это в виде

Т. к. x всегда лежит между C и X, то для всех X из достаточно малой окрестности точки C производная отрицательна при и положительна при . При нечетном n число n – 1 является четным, а поэтому вся правая (а, следовательно, и левая) часть

для всех X из достаточно малой окрестности C отрицательна слева от C и положительна справа от C.

На основании Теоремы 1 это означает, что функция f (x) имеет локальный минимум в точке C.

Случай рассматривается совершенно аналогично.