ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ.

План лекции

1. Дифференцирование параметрически заданных функций.

2. Неявные функции и их дифференцирование.

o Дифференцирование параметрически заданных функций

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

;

где t – параметр.

Тогда производная этой функции по переменной равна отношению производных и по параметру t:

- Пример 1.

Найти производную функции , заданной уравнениями в параметрической форме:

;

Решение:

Очевидно, что .

Следовательно,

- Пример 2.

Найти производную функции, заданной параметрически

Решение:

Находим .

Следовательно:

o Неявные функции и их дифференцирование

Неявные функции - функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение

задаёт неявную функцию.

Если дифференцируемая в точке функция задана соотношением и если при этом функция - дифференцируема в точке , то производную можно определить из равенства

так как функция тождественно равна постоянной и, следовательно, ее производная равна нулю.

- Пример 1.

Продифференцировать выражение по , считая функцией от .

Решение:

Так как – это функция от , то - это сложная функция. Ее можно условно представить как где – функция возведения в куб, а . Тогда, по формуле производной сложной функции имеем:

При дифференцировании второго выражения выносим константу за знак производной и действуем как в предыдущем случае (здесь – функция синуса, ):

Для третьего выражения применяем формулу производной произведения:

- Пример 2

Вычислите производную , если дифференцируемая функция задана неявно равенством

Решение:

Согласно теореме производную следует определять из равенства

Вычислим все производные в левой части этого соотношения, используя правила дифференцирования.

Из полученного равенства определим производную:

Контрольные вопросы:

1. Как найти производную параметрически заданной функции? Приведите пример.

2. Дайте определение неявной функции.

3. Как продифференцировать неявную функцию?

ЛЕКЦИЯ 11:

Механический смысл производной.

План лекции

1. Механический смысл производной.

2. Кривизна плоской кривой.

o Механический смысл производной

Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата этой точки есть известная функция времени . За промежуток времени от до перемещение точки равно , а ее средняя скорость такова:

(1)

При формула также верна: перемещение равно , а продолжительность промежутка времени равна .

Обычно характер движения бывает таким, что при малых средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью материальной точки в момент времени . Итак,

Но по определению производной

Поэтому считают, что мгновенная скорость определена только для любой дифференцируемой функции , при этом

(2)

Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если отрицательна, то координата убывает.

Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени . А производная этой функции называется ускорением движения: