Примеры:
1. Рассмотрим функцию 
.
Её производная существует при всех 
и равна 
. Следовательно, все критические точки - стационарные и задаются уравнением 
. Это уравнение можно записать в виде 
; оно имеет единственный корень 
: это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде 
, легко увидеть, что в стационарной точке 
функция имеет минимум, равный 
.
2. Найти экстремумы функции 
.
Решение
Так как 
, то критические точки функции 
и 
. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку 
производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку 
производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
и 
, найдем экстремумы функции: максимум 
и минимум 
.
Контрольные вопросы:
1. Сформулировать теорему Ролля. В чем ее геометрический смысл? Каково следствие из теоремы?
2. Сформулировать теорему Лагранжа о среднем значении. Каково ее геометрическое и механическое истолкования?
3. Сформулировать теорему Коши о среднем значении. В чем ее геометрический смысл?
4. Что такое возрастающая / убывающая функция? Назовите примеры таких функций.
5. Что такое экстремум функции? Назовите три достаточных условий экстремума.
ЛЕКЦИЯ 7:
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ РАСКРЫТИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
План лекции
1. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
2. Формула Тейлора.
3. Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления значений основных элементарных функций.
o Правило Лопиталя
метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 
и 
. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
1) Точная формулировка
Условия:
1. 
2. 
3. 
4. 
Пределы также могут быть односторонними.
2) Доказательство
- Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида 
Поскольку мы рассматриваем функции 
и 
только в правой проколотой полуокрестности точки 
, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть 
. Возьмём некоторый 
из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку 
теорему Коши. По этой теореме получим: 
,
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через 
, из полученного равенства выводим:
что является определением предела отношения функций.
- Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида 
.
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен 
. Тогда, при стремлении к 
справа, это отношение можно записать как 
, где 
— O (большое). Запишем это условие:
.
Зафиксируем 
из отрезка 
и применим теорему Коши ко всем 
из отрезка 
:
, что можно привести к следующему виду:
Для 
, достаточно близких к , выражение имеет смысл. Предел первого множителя правой части равен единице (так как 
и 
— константы, а 
и 
стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 
, где 
— бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение 
, что и в определении для α:
.
Получили, что отношение функций представимо в виде 
, и
. По любому данному 
можно найти такое 
, чтобы модуль разности отношения функций и 
был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен 
.
Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
В определении 
будем брать 
; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к 
, а тогда 
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
3) Примеры
Первый «замечательный» предел:
- пример неопределенности вида 
. По правилу Лопиталя:
o Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема Тейлора:
Пусть функция 
имеет в точке 
и некоторой ее окрестности производные порядка 
. Тогда между точками и 
найдется такая точка 
, что справедлива следующая формула,
называемая формулой Тейлора, а выражение:
представляет остаточный член в форме Лагранжа
Доказательство**
Пусть
где, как указано в формулировке теоремы Тейлора,
Достаточно показать, что
Доказательство основано на повторяющемся применении правила Лопиталя. Заметим, что каждое 
. Отсюда каждая следующая производная числителя функции 
стремится к нулю в точке 
, и то же самое справедливо для знаменателя. Тогда
где переход от предпоследнего выражения к последнему следует из определения производной в точке 
.
Ряды Тейлора для некоторых функций
Контрольные вопросы:
1. Сформулируйте правило Лопиталя. Какого вида неопределенности необходимы для правила Лопиталя.
2. Где используется формула Тейлора?
3. Сформулируйте теорему Тейлора.
ЛЕКЦИЯ 8: