Первообразная и неопределенный интеграл.

План лекции

1. Первообразная и неопределенный интеграл.

2. Свойство линейности.

3. Таблица неопределенных интегралов.

4. Замена переменной и интегрирование по частям.

o Первообразная и неопределенный интеграл.

- Определение первообразной.

Первообразной функции на промежутке называется такая функция , что выполняется равенство для любого из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы равна нулю, то справедливо равенство . Так, например, функция является первообразной . Так как производная константы равна нулю, будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как или … и т. д. Таким образом, семейство первообразных функции можно обозначить как , где С – любое число.

- Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением, а – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции .

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция , а множество ее первообразных .

- Свойства первообразной

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где – произвольная константа.

Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

- Пример:

Найти первообразную функции , значение которой равно единице при .

Решение:

Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом,

. По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид .

- Замена переменной

Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.

Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.

Примеры:

- Интегрирование по частям

Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования.

доказательство:

В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата.

Примеры:

o Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

- рациональные функции:

- логарифмы

- экспоненциальные функции

- иррациональные функции

- тригонометрические функции

Вывод формул:

Контрольные вопросы:

1. Что такое первообразная функции? Назовите ее свойства.

2. Дать определение неопределенному интегралу.

3. В чем заключается суть интегрирования методом замены переменной? Приведите примеры.

4. Что такое метод интегрирования по частям? В чем его суть?

ЛЕКЦИЯ 14:

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

План лекции

1. Интегрирование рациональных функций.

Функция , где - многочлены от – называется рациональной.

Если степень многочлена меньше степени многочлена , то называется правильной функцией.

Теорема:

Любую правильную рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших правильных рациональных функций.

Для интегрирования рациональной функции, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень больше степени ), преобразовать ее в правильную, выделив целую часть – многочлен от .

Разделим многочлен на . Получим следующее выражение:

где - неправильная рациональная дробь, - целая часть, - дробная часть

2. Разложить знаменатель на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.

Запишем многочлен знаменателя в виде:

где квадратичные функции не имеют действительных корней.

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов должно быть равно степени знаменателя .

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями . В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.