ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ С ПОЛНЫМ ИССЛЕДОВАНИЕМ. ПРИМЕРЫ.

План лекции

1. Построение графиков функции.

Стоит задача: провести полное исследование функции и построить ее график. Рассмотрим на примере: .

Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов:

1. Нахождение области определения функции.

Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения. В нашем примере:

2. Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты, если односторонние пределы функции в этих граничных точках бесконечны.

Наклонная асимптота:

3. Исследование функции на четность или нечетность.

Функция является четной, если Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.

Функция является нечетной, если Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.

Функция является нечетной – симметрия относительно начала координат.

4. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции

· во-первых, находим производную;

· во-вторых, находим критические точки;

· в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;

· в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «+» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «-» - промежутку убывания.

Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки, где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.

Вывод:

5. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решении неравенств и соответственно.

Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.

Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции:

- во-первых, находим вторую производную;

- во-вторых, находим нули числителя и знаменателя второй производной;

- в-третьих, разбиваем область определения полученными точками на интервалы;

- в-четвертых, определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «+» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «-» - промежутку выпуклости.