ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. АСИМПТОТЫ ФУНКЦИИ (ВЕРТИКАЛЬНЫЕ, ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ И НАКЛОННЫЕ).

План лекции

1. Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба.

2. Асимптоты функции.

o Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.

Точка называется точкой перегиба графика функции , если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси ) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки график функции имеет разные направления выпуклости.

Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.

На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба. Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.

Условия существования:

- Необходимое условие существования точки перегиба:

если функция , дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет в точку перегиба, то .

- Достаточное условие существования точки перегиба:

если функция в некоторой окрестности точки раз непрерывно дифференцируема, причем нечётно и , и при , а , то функция имеет в точку перегиба.

Пример:

Рассмотрим график функции :

Эта функция является вогнутой при и выпуклой при . В самом деле, , но при и при , следовательно, при и при , откуда следует, что функция является вогнутой при и выпуклой при . Тогда является точкой перегиба функции .

o Асимптоты функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные)

Асимптота — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.

Для гиперболы асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее

Виды асимптот графиков

- Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. ;

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

- Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

- Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

Замечание:

функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание:

если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при , и из выше указанных замечаний следует, что

1. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.

2. Существование указанных в п. 1. асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.

Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение вертикальных асимптот.

2. Нахождение двух пределов