План лекции
1. Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба.
2. Асимптоты функции.
o Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба
Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.
Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.
Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.
Точка называется точкой перегиба графика функции , если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси ) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки график функции имеет разные направления выпуклости.
Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.
На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба. Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.
Условия существования:
- Необходимое условие существования точки перегиба:
если функция , дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет в точку перегиба, то .
- Достаточное условие существования точки перегиба:
если функция в некоторой окрестности точки раз непрерывно дифференцируема, причем нечётно и , и при , а , то функция имеет в точку перегиба.
Пример:
Рассмотрим график функции :
Эта функция является вогнутой при и выпуклой при . В самом деле, , но при и при , следовательно, при и при , откуда следует, что функция является вогнутой при и выпуклой при . Тогда является точкой перегиба функции .
o Асимптоты функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные)
Асимптота — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.
Для гиперболы асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее
Виды асимптот графиков
- Вертикальная
Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
1. ;
2.
Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.
- Горизонтальная
Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .
- Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов
Замечание:
функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание:
если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами
Если при вычислении предела , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?
Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при , и из выше указанных замечаний следует, что
1. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.
2. Существование указанных в п. 1. асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.
Порядок нахождения асимптот
1. Нахождение вертикальных асимптот.
2. Нахождение двух пределов
3. Нахождение двух пределов :
если в п. 2., то , и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты, .
Наклонная асимптота — выделение целой части
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция .
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:
.
При , то есть: ,
и является искомым уравнением асимптоты.
Контрольные вопросы:
1. Что такое выпуклая / вогнутая функция?
2. Дайте определение точке перегиба функции.
3. Назовите достаточное и необходимое условия существования.
4. Что такое асимптота? Какие виды асимптот вы знаете?
ЛЕКЦИЯ 9: