Дифференциальное исчисление функции одной переменной

План лекции

1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

2. Правила дифференцирования.

3. Таблица производных.

Пусть дана функция

Разность называется приращением аргумента в точке x ₀.

Разность называется приращением значений функции в точке x ₀.

Если существует предел (конечный или бесконечный)

то он называется производной (конечной или бесконечной) функции f в точке x ₀.

Свойства производной:

- константу можно вынести за знак производной;

- производная суммы равна сумме производных;

- производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

Производная частного равна разности произведений, в каждом из которых все функции сами по себе и одна производная, деленной на квадрат знаменателя

производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции

Таблица производных:

10.

11.

12.

13.

Вывод производных:

· При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем – любое действительное число, т.е. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при

· Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени n – любое действительное число. Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для n = 1, 2, 3, … Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно:

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

· По определению производной для функции синуса имеем:

· Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби):

Производная котангенса находится аналогично.

· Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную .

В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма. Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй «замечательный» предел, то придем к формуле производной показательной функции:

· Докажем формулу производной логарифмической функции для всех из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.