План лекции
1. Вычисление площадей и длин дуг в полярной системе координат.
2. Приложение определенного интеграла к решению задач физики.
o Вычисление площади в полярных координатах
Пусть фигура представляет собой сектор, заданный в полярной системе координат кривой , где - неотрицательная непрерывная кривая на отрезке . Разобьем угол на частей лучами и обозначим
.
Площадь криволинейного сектора равна сумме площадей , заданных разбиением
Выберем один из элементов разбиения , соответствующий сектору , и зафиксируем на этом промежутке произвольное значение . Значение функции в точке обозначим и заменим площадь криволинейного сектора круговым сектором радиуса , площадь которого . Выполним такую же операцию на каждом участке разбиения и просуммируем полученные значения.
Сумма площадей круговых секторов:
представляет собой интегральную сумму, предел которой, существующий в силу непрерывности функции , равен определенному интегралу, выражающему площадь фигуры в полярных координатах.
При вычислении площади фигуры в полярных координатах рекомендуется придерживаться такого же порядка исследования, что и в декартовых координатах: построение чертежа, вычисление точек пересечения кривых, образующих границу фигуры; запись формулы.
Пример
Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и окружностью .
Решение
Выполним построение фигуры.
Из рисунка видно, что пересечение кривых образует три различных фигуры: вне круга, вне кардиоиды и внутренняя часть кардиоиды и окружности. Рассмотрим вычисление площади одной из них, расположенной вне кардиоиды (заштрихованная часть на рисунке).
Найдем точки пересечения кривых из системы:
При искомая площадь представляет собой часть круга, вырезанного кардиоидой, поэтому следует рассмотреть разность площадей , где - площадь полукруга, а - площадь, ограниченная кардиоидой и лучами .
Согласно формуле запишем
Замечание.
Для вычисления площади, образованной пересечением заданных кривых, расположенной вне круга, надо рассмотреть разность площадей, ограниченных кардиоидой и кругом при
. Для вычисления внутренней части кардиоиды и окружности надо рассмотреть сумму площадей, одна из которых представляет половину круга при , а вторая – сегмент кардиоиды при .
o Длина дуги в полярной системе координат
Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах , то площадь этой области вычисляем по формуле
.
Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования . Здесь нужно понимать, что кривая определена только, если . Поскольку в формуле присутствует , то она учтет и не существующую площадь, когда . Решив уравнение , найдем пределы интегрирования.
o Приложения определенного интеграла к решению задач физики.
- Работа переменной силы
Пусть точка движется по прямой, причем на перемещении на нее вдоль той же прямой действует постоянная сила . Из механики известно, что тогда работа этой силы . Если величина силы непрерывно меняется от точки к точке, то для выражения работы силы снова приходится прибегнуть к интегралу. Пусть путь , проходимый точкой, будет независимой переменной.
Предположим, что начальному положению точки соответствует значение , а конечному – значение . Каждому значению в промежутке отвечает определенное положение движущейся точки , а также определенное значение величины , которую можно рассматривать как функцию от . Взяв точку в каком-нибудь ее положении, определяемом
значением пути, найдем теперь приближенное выражение для элемента работы, соответствующего приращению пути, от до , при котором точка перейдет в точку (см. рис.). В положении на точку действует сила , поскольку изменение этой величины при переходе точки в при малом также мало, этим изменением можно пренебречь.
Считая величину силы приближенно постоянной, найдем для элемента работы на перемещении выражение .
Тогда
- Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью . Найдем путь , пройденный ею за промежуток времени от до .
Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени, т. е. . Отсюда следует, что . Интегрируя полученное равенство в пределах от до ,
получаем:
Пример
Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела
Решение
Если , то путь, пройденный телом от начала движения () до конца 4-й секунды, равен
- Давление
Давление, производимое жидкостью с удельным весом на одну сторону
погруженной в нее вертикальной пластинки, если расстояние точек пластинки
до уровня жидкости изменяется от до (рис.12),
определяется по формуле,
где – длина горизонтального сечения пластинки . Так как на
элементарную пластинку шириной давит слой жидкости, находящийся над этой пластинкой, т.е. , где – площадь пластинки, – объем жидкости, а – вес
жидкости, который и оказывает давление. Следовательно, всё давление получаем по формуле.
Контрольные вопросы:
1. Как вычислить площадь в полярной системе координат?
2. Как вычислить длину дуга в полярных координатах?
3. Приложения определенного интеграла к решению задач физики.
ЛЕКЦИЯ 20:
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
План лекции
1. Несобственные интегралы. Их типы, сходимость.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
1. Предел или (или оба предела) являются бесконечными;
2. Функция имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка .
- Несобственный интеграл первого типа.
В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так:
В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .
Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом:
или с двумя бесконечными пределами:
Мы рассмотрим самый популярный случай . Техника работы с другими разновидностями – аналогична. Всегда ли существует несобственный интеграл ? Нет, не всегда.
Подынтегральная функция должна быть непрерывной на интервале
Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:
Здесь всё хорошо, подынтегральная функция непрерывна на интервале , а, значит, несобственный интеграл существует. Обратите внимание, что криволинейная трапеция у нас – бесконечная (не ограниченная справа) фигура.
Несобственный интеграл численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:
1. Первое, мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.
2. Но, как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.
(Сходимость – когда предел равен числу, расходимость – когда предел равен не числу – либо равен бесконечности, либо не существует)
В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим. А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен отрицательному числу.
Геометрический смысл несобственного интеграла I типа: