ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ДЛИН ДУГ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.




План лекции

1. Вычисление площадей и длин дуг в полярной системе координат.

2. Приложение определенного интеграла к решению задач физики.

 

o Вычисление площади в полярных координатах

 

Пусть фигура представляет собой сектор, заданный в полярной системе координат кривой , где - неотрицательная непрерывная кривая на отрезке . Разобьем угол на частей лучами и обозначим

.

Площадь криволинейного сектора равна сумме площадей , заданных разбиением

Выберем один из элементов разбиения , соответствующий сектору , и зафиксируем на этом промежутке произвольное значение . Значение функции в точке обозначим и заменим площадь криволинейного сектора круговым сектором радиуса , площадь которого . Выполним такую же операцию на каждом участке разбиения и просуммируем полученные значения.

Сумма площадей круговых секторов:

представляет собой интегральную сумму, предел которой, существующий в силу непрерывности функции , равен определенному интегралу, выражающему площадь фигуры в полярных координатах.

 

При вычислении площади фигуры в полярных координатах рекомендуется придерживаться такого же порядка исследования, что и в декартовых координатах: построение чертежа, вычисление точек пересечения кривых, образующих границу фигуры; запись формулы.

Пример

Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и окружностью .

Решение

Выполним построение фигуры.

 

Из рисунка видно, что пересечение кривых образует три различных фигуры: вне круга, вне кардиоиды и внутренняя часть кардиоиды и окружности. Рассмотрим вычисление площади одной из них, расположенной вне кардиоиды (заштрихованная часть на рисунке).

Найдем точки пересечения кривых из системы:

При искомая площадь представляет собой часть круга, вырезанного кардиоидой, поэтому следует рассмотреть разность площадей , где - площадь полукруга, а - площадь, ограниченная кардиоидой и лучами .

Согласно формуле запишем

 

Замечание.

Для вычисления площади, образованной пересечением заданных кривых, расположенной вне круга, надо рассмотреть разность площадей, ограниченных кардиоидой и кругом при

. Для вычисления внутренней части кардиоиды и окружности надо рассмотреть сумму площадей, одна из которых представляет половину круга при , а вторая – сегмент кардиоиды при .

 

o Длина дуги в полярной системе координат

 

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах , то площадь этой области вычисляем по формуле

.

Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования . Здесь нужно понимать, что кривая определена только, если . Поскольку в формуле присутствует , то она учтет и не существующую площадь, когда . Решив уравнение , найдем пределы интегрирования.

 

o Приложения определенного интеграла к решению задач физики.

 

- Работа переменной силы

Пусть точка движется по прямой, причем на перемещении на нее вдоль той же прямой действует постоянная сила . Из механики известно, что тогда работа этой силы . Если величина силы непрерывно меняется от точки к точке, то для выражения работы силы снова приходится прибегнуть к интегралу. Пусть путь , проходимый точкой, будет независимой переменной.

Предположим, что начальному положению точки соответствует значение , а конечному – значение . Каждому значению в промежутке отвечает определенное положение движущейся точки , а также определенное значение величины , которую можно рассматривать как функцию от . Взяв точку в каком-нибудь ее положении, определяемом

значением пути, найдем теперь приближенное выражение для элемента работы, соответствующего приращению пути, от до , при котором точка перейдет в точку (см. рис.). В положении на точку действует сила , поскольку изменение этой величины при переходе точки в при малом также мало, этим изменением можно пренебречь.

Считая величину силы приближенно постоянной, найдем для элемента работы на перемещении выражение .

Тогда

- Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью . Найдем путь , пройденный ею за промежуток времени от до .

Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени, т. е. . Отсюда следует, что . Интегрируя полученное равенство в пределах от до ,

получаем:

Пример

Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела

Решение

Если , то путь, пройденный телом от начала движения () до конца 4-й секунды, равен

- Давление

Давление, производимое жидкостью с удельным весом на одну сторону

погруженной в нее вертикальной пластинки, если расстояние точек пластинки

до уровня жидкости изменяется от до (рис.12),

 

определяется по формуле,

где – длина горизонтального сечения пластинки . Так как на

элементарную пластинку шириной давит слой жидкости, находящийся над этой пластинкой, т.е. , где – площадь пластинки, – объем жидкости, а – вес

жидкости, который и оказывает давление. Следовательно, всё давление получаем по формуле.

 

Контрольные вопросы:

1. Как вычислить площадь в полярной системе координат?

2. Как вычислить длину дуга в полярных координатах?

3. Приложения определенного интеграла к решению задач физики.

 

ЛЕКЦИЯ 20:

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

План лекции

1. Несобственные интегралы. Их типы, сходимость.

 

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

1. Предел или (или оба предела) являются бесконечными;

2. Функция имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка .

- Несобственный интеграл первого типа.

В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так:

В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом:

или с двумя бесконечными пределами:

Мы рассмотрим самый популярный случай . Техника работы с другими разновидностями – аналогична. Всегда ли существует несобственный интеграл ? Нет, не всегда.

Подынтегральная функция должна быть непрерывной на интервале

Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:

 

 

Здесь всё хорошо, подынтегральная функция непрерывна на интервале , а, значит, несобственный интеграл существует. Обратите внимание, что криволинейная трапеция у нас – бесконечная (не ограниченная справа) фигура.

Несобственный интеграл численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:

 

1. Первое, мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.

 

2. Но, как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.

 

(Сходимость – когда предел равен числу, расходимость – когда предел равен не числу – либо равен бесконечности, либо не существует)

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим. А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен отрицательному числу.

 

Геометрический смысл несобственного интеграла I типа:



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-05-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: