План лекции
1. Криволинейные интегралы I рода. Определение и вычисление.
2. Основные свойства.
3. Приложения к задачам геометрии и физики.
· Определение
1. Дугу кривой или в пространстве разбиваем на малых частей точками ; обозначаем длины хорд , .
2. Вычисляем значения функции в произвольно выбираемых точках на -той части разбиения и умножаем их на соответствующие длины хорд :
3. Составляем интегральную сумму
и вычисляем её предел при λ → 0, где λ – это ранг разбиения.
Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги на элементарные части, ни от выбора на них точек , то он называется криволинейным интегралом I рода от функции по линии :
· Механическая трактовка криволинейного интеграла I рода
Если — это линейная плотность распределения материала по линии (т.е. количество материала на единицу длины), то
— это «масса» тяжелой линии .
· Основные свойства криволинейного интеграла I рода
1) Линейность криволинейного интеграла I рода по подынтегральной функции
где – постоянные по .
2) Аддитивность криволинейного интеграла I рода по линии интегрирования
Если , то
3) Значение криволинейного интеграла I рода от функции, тождественно равной единице на линии интегрирования
Если на , то
— длина дуги линии .
4) Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода
Если функция является непрерывной для , то
существует.
Вычисление криволинейного интеграла I рода (Как вычисляется криволинейный интеграл I рода)
Если записать параметрические уравнения линии :
в которых функции являются дифференцируемыми, то можно показать, что дифференциал длины дуги пересчитывается по формуле:
а криволинейный интеграл I рода сводится к определенному интегралу по переменной .
В результате получается следующая формула для вычисления криволинейного интеграла I рода:
При этом в качестве параметра на линии можно брать любую независимую переменную.
В частности, если дан двумерный криволинейный интеграл и линия интегрирования является графиком функции , то в качестве параметра можно взять независимую переменную : тогда и формула сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу будет иметь вид:
Если плоская линия задана уравнением в полярной системе координат, то в качестве параметра нужно брать полярный угол и использовать связь между полярными и декартовыми координатами: . Тогда
формула сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в полярных координатах:
При составлении 3-x последних формул нужно учитывать, что значение криволинейного интеграла I рода не зависит от направления на линии интегрирования , поэтому , всегда в следствие этого пределы интегрирования по независимой переменной «от до » всегда такие, что .
· Приложения к задачам геометрии и физики
Длина кривой выражается формулой:
Моменты инерции:
Статические моменты – центры тяжести:
Теоретические вопросы
1. Что такое криволинейный интеграл 1-го рода?
2. Как вычисляется криволинейный интеграл по параметризованной кривой?
3. Как вычислить длину дуги, статистические моменты для кривой?
ЛЕКЦИЯ 2: