КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ I РОДА

План лекции

1. Криволинейные интегралы I рода. Определение и вычисление.

2. Основные свойства.

3. Приложения к задачам геометрии и физики.

· Определение

1. Дугу кривой или в пространстве разбиваем на малых частей точками ; обозначаем длины хорд , .

2. Вычисляем значения функции в произвольно выбираемых точках на -той части разбиения и умножаем их на соответствующие длины хорд :

3. Составляем интегральную сумму

и вычисляем её предел при λ → 0, где λ – это ранг разбиения.

Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги на элементарные части, ни от выбора на них точек , то он называется криволинейным интегралом I рода от функции по линии :

· Механическая трактовка криволинейного интеграла I рода

Если — это линейная плотность распределения материала по линии (т.е. количество материала на единицу длины), то

— это «масса» тяжелой линии .

· Основные свойства криволинейного интеграла I рода

1) Линейность криволинейного интеграла I рода по подынтегральной функции

где – постоянные по .

2) Аддитивность криволинейного интеграла I рода по линии интегрирования

Если , то

3) Значение криволинейного интеграла I рода от функции, тождественно равной единице на линии интегрирования

Если на , то

— длина дуги линии .

4) Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода

Если функция является непрерывной для , то

существует.

Вычисление криволинейного интеграла I рода (Как вычисляется криволинейный интеграл I рода)

Если записать параметрические уравнения линии :

в которых функции являются дифференцируемыми, то можно показать, что дифференциал длины дуги пересчитывается по формуле:

а криволинейный интеграл I рода сводится к определенному интегралу по переменной .

В результате получается следующая формула для вычисления криволинейного интеграла I рода:

При этом в качестве параметра на линии можно брать любую независимую переменную.

В частности, если дан двумерный криволинейный интеграл и линия интегрирования является графиком функции , то в качестве параметра можно взять независимую переменную : тогда и формула сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу будет иметь вид:

Если плоская линия задана уравнением в полярной системе координат, то в качестве параметра нужно брать полярный угол и использовать связь между полярными и декартовыми координатами: . Тогда

формула сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в полярных координатах:

При составлении 3-x последних формул нужно учитывать, что значение криволинейного интеграла I рода не зависит от направления на линии интегрирования , поэтому , всегда в следствие этого пределы интегрирования по независимой переменной «от до » всегда такие, что .