Поверхностный интеграл первого рода

· Определение

· Параметрическая форма

· Свойства

Поверхностный интеграл второго рода

· Определение

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода:

Свойства:

· Дифференциал площади поверхности

· Приложения поверхностных интегралов к задачам геометрии и физики.

Теоретические вопросы

1. Как определяется поверхностный интеграл?

2. Как вычисляется дифференциал площади поверхности?

3. Как вычисляется поверхностный интеграл?

ЛЕКЦИЯ 6:

КОМПЛЕКСНЫЕЧИСЛА

План лекции

1. Основные понятия.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

4. Действия над комплексными числами.

5. Извлечение корня из комплексного числа

Основные понятия

Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где х,у – действительные числа, а i – мнимая единица, i²= - 1.

Если х= 0, то число 0+ iy называется чисто мнимым; если у =0, то число х+i 0= х отождествляется с действительным числом х.

Множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. R Ì C.

Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x=Rez, а у – мнимой частью z, y=Imz.

Определение 2. Два комплексных числа z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂ называются равными (z₁=z₂) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х₁=х₂, у₁=у₂. В частности, комплексное число z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х=у= 0.

Определение 3. Два комплексных числа z=x+iy и =x-iy называются сопряженными.

Геометрическое изображение комплексных чисел

Комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ХОУ, где x=Rez, y=Imz. И наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy (рис.1).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=x+0i=х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+iy.

Комплексное число z=x+iy можно задавать с помощью радиус-вектора .

Определение 4. Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z|.

Определение 5. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или j.

Аргумент комплексного числа z =0 не определен. Аргумент комплексного числа z¹ 0 определяется с точностью до слагаемого 2pk (k=0,±1,±2,…): Аrgz=argz+ 2pk, где argz – главное значение аргумента, заключенное в промежутке [0;2p].

Тригонометрическая и показательная формы

Комплексного числа

Запись комплексного числа в виде z=x+iy называется алгебраической формой.

Модуль и аргумент комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора (рис.1). Тогда и комплексное число z=x+iy можно записать в виде z = = . Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой. Модуль определяется по формуле , аргумент j определяется из формулы при этом Argz = argz+ 2pk, argz =

Используя формулу Эйлера комплексное число z можно записать в показательной форме .