ОПР. Пара стратегий игроков является ситуацией равновесия игры, если для любой другой пары стратегий
имеет место неравенство:
Ситуация равновесия характерна тем, что ни один игрок не имеет разумных оснований для изменения своей стратегии, при условии, что другой игрок придерживается своей равновесной стратегии.
Например, игры с платежными матрицами
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() |
обладают двумя равновесными ситуациями в чистых стратегиях . Отступление одного из игроков от любой из этих равновесных ситуаций, при условии, что второй игрок ее придерживается, приводит к проигрышу отступившего игрока.
Не всякая игра имеет ситуацию равновесия в чистых стратегиях.
Например, игра в орлянку такой ситуации не имеет:
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Если игра обладает ситуацией равновесия , то говорят, что игра разрешима. В этом случае решением игры называется указание одной из (или всех) равновесных ситуаций игры
и определение выигрышей
и
игроков в равновесной ситуации игры.
Замечание: игры рассмотренного выше типа называются играми с ненулевой суммой или биматричными играми.
Особенностью таких игр является тот факт, что ситуация равновесия не является абсолютно устойчивой и возможно возникновение математически не формализуемых ситуаций (переговоров, шантажа, угроз и т.п.)
Пример 1. «Семейный спор»
Рассмотрим биматричную игру.
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Молодая семья: муж I игрок, жена II. Выбирают одно из двух развлечений на вечер: матч бокса или балет. Муж предпочитает балет, жена бокс. Однако обоим предпочтительнее быть вместе.
Очевидно, чистые стратегии и
образуют ситуацию равновесия, причем ситуации
и
не являются равновесными, однако выигрыши в ситуации равновесия различны.
Ситуация предпочтительна для игрока один, а
- для игрока два. Даже если игрок один знает, что игрок два выберет чистую стратегию
, он может настаивать на использовании
, а не
, надеясь, что это заставит игрока два переключиться на
.
Даже в случае, когда имеется только одна ситуация равновесия, может возникнуть неустойчивость.
Пример 2. «Дилемма заключенного»
Рассмотрим игру. Два преступника в разных КПЗ подозреваются в тяжком преступлении. Однако прямых улик нет, и обвинения в значительной мере зависят от того, сознаются ли они сами.
Если сознаются, то на большой срок, но не самый большой.
Если ни один из них не сознается, то обвинение в тяжком преступлении снимается, но суд может доказать их виновность (небольшое наказание).
Если один лишь сознается, а второй будет хранить молчание, то первый будет выпущен на свободу, а второй получит максимальный срок.
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Игра имеет единственную ситуацию равновесия . Она определяет вектор выигрышей (1,1), но если оба игрока сыграют «неправильно», т.е. выберут свои первые чистые стратегии, то в результате получится выигрыш (5,5), что лучше для обоих. Но каждый игроков может выиграть еще больше, предав другого.