Лекция 9. Ситуации равновесия в игре

ОПР. Пара стратегий игроков является ситуацией равновесия игры, если для любой другой пары стратегий имеет место неравенство:

Ситуация равновесия характерна тем, что ни один игрок не имеет разумных оснований для изменения своей стратегии, при условии, что другой игрок придерживается своей равновесной стратегии.

Например, игры с платежными матрицами

обладают двумя равновесными ситуациями в чистых стратегиях . Отступление одного из игроков от любой из этих равновесных ситуаций, при условии, что второй игрок ее придерживается, приводит к проигрышу отступившего игрока.

Не всякая игра имеет ситуацию равновесия в чистых стратегиях.

Например, игра в орлянку такой ситуации не имеет:

Если игра обладает ситуацией равновесия , то говорят, что игра разрешима. В этом случае решением игры называется указание одной из (или всех) равновесных ситуаций игры и определение выигрышей и игроков в равновесной ситуации игры.

Замечание: игры рассмотренного выше типа называются играми с ненулевой суммой или биматричными играми.

Особенностью таких игр является тот факт, что ситуация равновесия не является абсолютно устойчивой и возможно возникновение математически не формализуемых ситуаций (переговоров, шантажа, угроз и т.п.)

Пример 1. «Семейный спор»

Рассмотрим биматричную игру.

Молодая семья: муж I игрок, жена II. Выбирают одно из двух развлечений на вечер: матч бокса или балет. Муж предпочитает балет, жена бокс. Однако обоим предпочтительнее быть вместе.

Очевидно, чистые стратегии и образуют ситуацию равновесия, причем ситуации и не являются равновесными, однако выигрыши в ситуации равновесия различны.

Ситуация предпочтительна для игрока один, а - для игрока два. Даже если игрок один знает, что игрок два выберет чистую стратегию , он может настаивать на использовании , а не , надеясь, что это заставит игрока два переключиться на .

Даже в случае, когда имеется только одна ситуация равновесия, может возникнуть неустойчивость.

Пример 2. «Дилемма заключенного»

Рассмотрим игру. Два преступника в разных КПЗ подозреваются в тяжком преступлении. Однако прямых улик нет, и обвинения в значительной мере зависят от того, сознаются ли они сами.

Если сознаются, то на большой срок, но не самый большой.

Если ни один из них не сознается, то обвинение в тяжком преступлении снимается, но суд может доказать их виновность (небольшое наказание).

Если один лишь сознается, а второй будет хранить молчание, то первый будет выпущен на свободу, а второй получит максимальный срок.

Игра имеет единственную ситуацию равновесия . Она определяет вектор выигрышей (1,1), но если оба игрока сыграют «неправильно», т.е. выберут свои первые чистые стратегии, то в результате получится выигрыш (5,5), что лучше для обоих. Но каждый игроков может выиграть еще больше, предав другого.