В общем случае решение нелинейного уравнения проводится численно в два этапа (здесь речь идёт лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью). Известно, что корень уравнения (уравнение записано в виде f (x)=0) – это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. В графическом представлении – это может быть точка пересечения или касания графика функции с осью абсцисс.
При решении уравнения не надейтесь никогда найти точное значение корня и добиться обращения функции в нуль при использовании компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может служить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если, например, относительная погрешность равна 0,000001 (e =0,000001), то искомый результат буде иметь 6 верных (значащих) цифр после запятой (n = lg (1/ e)).
В настоящей лабораторной работе решение уравнений сводится к выполнению второго этапа, то есть к уточнению корня на заданном отрезке.
Решение нелинейных уравнений в таблицах MS Excel возможно осуществить следующими способами:
1) Подбором параметра;
2) используя циклические ссылки;
3) с помощью Поиска решения.
Подбор параметра
При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность (относительная погрешность) устанавливаются следующей последовательностью команд:
1) щёлкнуть мышью по кнопке меню С е рвис;
2) в раскрывшемся меню щёлкнуть по строке П а раметры…;
3) в появившемся диалоговом окне Параметры щёлкнуть мышью по вкладке Вычисления, где и установить значения Предельного ч исла итераций и Относительной по г решности;
4) щёлкнуть по кнопке ОK.
При подборе параметра Excel изменяет значение аргумента функции в одной конкретной ячейке до тех пор, пока значения функции, вычисляемые по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не станут соответствовать установленным параметрам вычислений.
Уточнение корня уравнения этим способом сводится к следующим действиям.
1) Заданное уравнение преобразовать к виду f (x)=0. Левая часть уравнения и будет той функцией, нуль которой необходимо найти. Например, задано уравнение tg (x)=1/ x. Приводим его к виду x × tg (x)=1, переносим единицу в левую часть уравнения и получаем x × tg (x)-1=0. Тогда функция, нуль которой предстоит найти, имеет вид f (x)= x × tg (x)-1.
2) В выбранную ячейку рабочего листа (например, B5) ввести текст x=.
3) В соседнюю справа ячейку (например, в ячейку C5) ввести любое начальное приближение к корню из заданного отрезка (можно использовать значение левой или правой границы).
4) В ячейку строкой ниже (например, B6) ввести текст f(x)=.
5) В соседнюю ячейку (справа от предыдущей) ввести выражение для вычисления значений функции, в качестве которой использовать левую часть уравнения (в нашем случае в ячейку C6 ввести формулу =C5*TAN(C5)-1). Ссылка в формуле вводится щелчком мыши по ячейке с начальным значением аргумента, то есть по ячейке C5.
6) Щёлкнуть мышью по ячейке с формулой для вычисления значений функции (C6).
7) Щёлкнуть мышью по строке меню С е рвис.
8) В раскрывшемся меню щёлкнуть по строке П одбор параметра….
9) В появившемся диалоговом окне Подбор параметра удалить адрес текущей ячейки в окне Установить в я чейке:, если он не соответствует адресу ячейки с выражением для вычисления значений функции, и щёлкнуть мышью по ячейке с формулой (C6), в окно Зна ч ение: ввести 0 (нуль). Щелкнуть мышью в окне И зменяя значение ячейки:, а затем щёлкнуть мышью по ячейке со значением x (C5).
10) Щёлкнуть мышкой по кнопке ОK. Результат получен.
Пример оформления на рабочем листе
| B | С | |
| x= | 0,5 | |
| f(x)= | =C5*TAN(C5)-1 |
Циклические ссылки
Если в ячейку рабочего листа введена формула, содержащая ссылку на эту же ячейку (может быть и не напрямую, а опосредованно – через цепочку других ссылок), то говорят, что имеет место циклическая ссылка (цикл). Именно вычисление по формулам с циклическими ссылками и использовано в рассматриваемом способе решения нелинейных уравнений. При этом число повторений цикла будет конечным.
Для включения режима циклических вычислений надо выполнить следующие действия:
1) щёлкнуть мышью по кнопке меню С е рвис;
2) в раскрывшемся меню щёлкнуть мышью по строке П а раметры…;
3) в диалоговом окне Параметры щёлкнуть мышью по вкладке
Вычисления;
4) поставить флажок в окне и терации;
5) установить вариант вычислений автоматически;
6) щелкнуть мышью по кнопке ОK.
Уточнение корня уравнения этим способом сводится к следующим действиям.
1) Найти первую производную от функции f (x) из уравнения f (x)=0. В нашем примере производная от функции f (x)= x × tg (x)-1 будет иметь вид f /(x)= tg (x)+ x / cos 2(x).
2) В ячейку (например, F5) ввести текст Xнач=.
3) В ячейку ниже (F6) ввести текст x=.
4) В следующую ниже ячейку (F7) ввести текст f(x)=.
5) В ячейку G5 ввести начальное приближение x (число) к искомому корню. В качестве такого приближения можно использовать середину (левую или правую границу) заданного отрезка.
6) В ячейку G6 ввести рекуррентную формулу, задающую вычисление очередного приближения к корню по методу Ньютона 
. При этом необходимо использовать логическую функцию ЕСЛИ(). Применение этой функции позволит запустить итерационный процесс с начального приближения, записанного в G5. Таким образом, формула, которую надо ввести в ячейку G6, будет иметь вид: =ЕСЛИ(G6=0;G5;G6-(G6*TAN(G6)-1)/
(TAN(G6)+G6/COS(G6)^2)).
7) В ячейку G7 ввести выражение для вычисления значений функции из уравнения. Искомый результат (корень) будет получен в ячейке G6.
Для изменения начального приближения Xнач на другое необходимо выполнить следующие действия.
1) Из ячейки со значением Xнач (G5) удалить прежнее значение и ввести новое.
2) Дважды щёлкнуть мышью (перейти в режим редактирования содержимого) по ячейке с формулой (G6). После чего нажать клавишу Enter. Это приведёт к обнулению прежнего результата и повторному запуску итерационного процесса.