| D | E | F | G | |
| Xмакс= | 0,5 | Xмин= | 0,5 | |
| f(x)макс= | =E5*TAN(E5)-1 | f(x)мин= | =G5*TAN(G5)-1 |
6. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
«РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Цель работы: уяснить сущность и усвоить методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Овладеть технологией решения обыкновенного дифференциального уравнения средствами MS Excel.
6.1. Сущность и методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные (x 1, x 2, x 3, …, xm), их функцию (y(x 1, x 2, x 3, …, xm)) и производные (дифференциалы) этой функции. Уравнение с одной независимой переменной (x) называется обыкновенным, если же независимых переменных больше одной, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в него. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка:
| F (x, y, y ¢, y ¢¢, …, y (n))=0, | (6.1) |
где: x – независимая переменная, y – неизвестная функция, y ¢, y ¢¢, …, y ( n ) – производные этой функции.
Уравнение n -го порядка, разрешённое относительно старшей производной, может быть записано в виде:
| y (n)= f (x, y, y ¢, y ¢¢, …, y (n -1)). | (6.2) |
Общим решением уравнения (6.2) называется такая дифференцируемая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Численное решение дифференциального уравнения предполагает получение числовой таблицы приближенных значений yi искомой функции y = φ (x) для некоторых значений аргумента xi Î[ x 0, b ].
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений возможно такими методами, как метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера-Коши, которые относятся к семейству методов Рунге-Кутты, собственно методом Рунге-Кутты и другими.
Метод Эйлера ввиду малой точности может быть использован в основном для ориентировочных расчётов, но идеи, положенные в его основу, являются исходными для ряда других более точных методов. Этот метод можно считать примером методов Рунге-Кутты первого порядка.
Модифицированный метод Эйлера-Коши несколько повышает точность решения и его относят к семейству методов Рунге-Кутты второго порядка.
Обеспечивающим необходимую точность решения и наиболее популярным из семейства методов Рунге-Кутты является метод четвёртого порядка. Для получения таблицы приближённых значений искомой функции y = φ (x) по этому методу применяются следующие расчётные формулы:
| k 1= hf (xk, yk), | (6.3) | |||||
| k 2= hf (xk + h /2, yk + k 1/2), | (6.4) | |||||
| k 3= hf (xk + h /2, yk + k 2/2), | (6.5) | |||||
| k 4= hf (xk + h, yk + k 3), | (6.6) | |||||
| Δ yk =1/6(k 1+2 k 2+2 k 3+ k 4), | (6.7) | |||||
| yk +1= yk +Δ yk, | (6.8) | |||||
| xk +1= xk + h. | (6.9) | |||||
Содержание работы
1) В D1 ячейку ввести текст Лабораторная работа № 5.
2) В ячейку A2 ввести текст Решение дифференциального
уравнения методом Рунге-Кутты (Вариант № ХХ).
3) В ячейку A3 ввести текст Исходные данные:.
4) В ячейку D3 ввести текст Xнач.=.
5) В ячейку E3 ввести число 0.
6) В ячейку F3 ввести текст Yнач.=.
7) В ячейку G3 ввести число 0.
8) В ячейку H3 ввести текст n=.
9) В ячейку I3 ввести число 5.
10) В ячейку J3 ввести текст h=.
11) В ячейку K3 ввести число 0,1.
12) В ячейку C4 ввести текст Результаты вычислений.
13) В ячейку A5 ввести текст № итер..
14) В ячейку B5 ввести текст x0.
15) В ячейку С5 ввести текст y0.
16) В ячейку D5 ввести текст k.
17) В ячейку E5 ввести текст dk.
18) В ячейку A6 ввести =1.
19) В ячейку B6 ввести формулу – ссылку на ячейку E3 (=E3).
20) В ячейку C6 ввести формулу – ссылку на ячейку G3 (=G3).
21) В ячейку D6 ввести формулу (6.3) для вычисления k 1. Например, для варианта № 30 =$K$3*(1-Sin(0,75*B6+C6^2) при этом ссылка на ячейку K3 должна быть абсолютной.
22) В ячейку E6 ввести формулу – ссылку на ячейку D6 (=D6).
23) В ячейку B7 ввести формулу =B6+$K$3/2 (ссылка на ячейку K3 – абсолютная).
24) В ячейку C7 ввести формулу =C6+D6/2.
25) В ячейку D7 ввести формулу (6.4) для вычисления k 2. Например, для варианта № 30 =$K$3*(1-Sin(0,75*B7+C7^2) (ссылка на ячейку K3 в абсолютной форме).
26) В ячейку E7 ввести формулу =2*C7.
27) В ячейку B8 ввести формулу – ссылку на ячейку B7 (=B7).
28) В ячейку C8 ввести формулу =C6+D7/2.
29) В ячейку D8 ввести формулу (6.5) для вычисления k 3. Например, для варианта № 30 =$K$3*(1-Sin(0,75*B8+C8^2) (ссылка на ячейку K3 в абсолютной форме).
30) В ячейку E8 ввести формулу =2*C8.
31) В ячейку B9 ввести формулу =B6+$K$3 (ссылка на ячейку K3 – абсолютная).
32) В ячейку C9 ввести формулу (6.8) =C6+D8.
33) В ячейку D9 ввести формулу (6.6) для вычисления k 4. Например, для варианта № 30 =$K$3*(1-Sin(0,75*B9+C9^2) (ссылка на ячейку K3 в абсолютной форме).
34) В ячейку E9 ввести формулу – ссылку на ячейку D9 (=D9).
35) В ячейку D10 ввести текст Δy=.
36) В ячейку E10 ввести формулу (6.7) =1/6*СУММ(E6:E9).
37) Выполнить ещё 3 итерации путём тройного копирования блока ячеек B6:E10 в интервал, расположенный ниже его.
38) В блоке ячеек F5:G11 сформировать таблицу. В ячейки F5 и G5 ввести тексты – имена колонок x и y соответственно.
39) В ячейку C11 ввести формулу (6.8) =C6+E10.
40) Из ячеек B6, B11, B16, B21, B26, B31 последовательно перезаписать значения в ячейки F6, F7, F8, F9, F10, F11.
41) Из ячеек C6, C11, C16, C21, C26, C31 последовательно перезаписать значения в ячейки G6, G7, G8, G9, G10, G11.
42) Выделить блок ячеек F6:G11 и с помощью Мастера диаграмм построить диаграмму-график. Выполнить в полном объёме действия, аналогичные изложенным в указаниях к лабораторной работе № 2.
Примечание: пример оформления рабочего листа можно посмотреть в приложении 5.
Варианты задания
Для всех вариантов Xнач=0 и Yнач=0. Границы отрезка [ a, b ] рекомендуется выбирать в пределах от 0 до 0,5.
Таблица 6.1
| № вар. | Уравнение | № вар. | Уравнение |
| y ¢=1+0,2 y Sin x - y 2 | y ¢= Cos (x + y)+0,5(x - y) | ||
| y ¢= y 2 Cos (1+ x) | y ¢=(1- y 2) Cos x +0,6 y | ||
| y ¢= Cos (x +2)-0,3 y 2 | y ¢=1+0,4 y Sin x -1,5 y 2 | ||
| y ¢= Cos (1,5+ x)+0,1 y 2 | y ¢= Cos (1,5 x + y)+(x - y) | ||
| y ¢= Cos (1+ x)-0,5 y 2 | y ¢=1- Sin (x + y) | ||
| y ¢= Cos x -0,5 y 2 | y ¢=0,6 Sinx -1,25 y 2 | ||
| y ¢=1+ Sin x -2 y 2 | y ¢= Cos (x + y)+1,5(x - y) | ||
| y ¢=1+2,2 Sinx +1,5 y 2 | y ¢= Cos (1,5 x + y)+(x - y) | ||
| y ¢=1- Sin (2 x + y) | y ¢=1+(1- x) Sin y | ||
| y ¢= Sin (2 x + y)-0,3 y | y ¢= Cos (1,5 x + y) | ||
| y ¢=(0,8- y 2) Cos x | y ¢=(x -1) Siny | ||
| y ¢=1+2,2 Sinx +1,5 y 2 | y ¢= Cos (x + y)+0,5(x - y) | ||
| y ¢= Cos (x +2)-0,3 y 2 | y ¢=1- Sin (1,5 x 2+ y) | ||
| y ¢= Cos (x 2+ y)-0,5 y 2 | y ¢= Sin (1,5 x + y 2)-0,5 y | ||
| y ¢=Cos(x 2- y 2)+0,2 y | y¢=1- Sin (0,75 x + y 2) |
7. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
Цель работы: уяснить сущность задачи и методы решения. Овладеть технологией решения систем линейных алгебраических уравнений средствами MS Excel.