ЦЕЛЬ РАБОТЫ: экспериментально определить момент инерции тела (цилиндра); экспериментально подтвердить теорему Гюйгенса–Штейнера.
ПРИБОРЫИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: прибор ТМ98А, цилиндр, секундомер, штангенциркуль.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Студентам необходимо:
– изучить лабораторную установку (см. рис. 17.1);
– экспериментально определить момент инерции тела (цилиндра) методом крутильных колебаний, используя теорему Гюйгенса-Штейнера;
– решить обратную задачу – экспериментально проверить теорему Гюйгенса–Штейнера;
– результаты измерений и вычислений оформить в виде таблиц;
– на основании полученных результатов сделать выводы;
– записать свои предложения по улучшению техники измерений и вычислений в данной работе.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ОПЫТА
В работе необходимо, применив теорему Гюйгенса–Штейнера, методом крутильных колебаний определить момент инерции тела (цилиндра), а затем решить обратную задачу: используя полученные опытным путем данные, произвести экспериментальное подтверждение теоремы Гюйгенса–Штейнера. Теорема Гюйгенса–Штейнера утверждает, что момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту инерции 
относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела m и квадрата расстояния а между осями:
. (17.1)
Если диск прибора ТМ98А (см. рис. 17.1) привести в крутильные колебания, то период колебаний определится по формуле:
, (17.2)
где 
– момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, D – модуль кручения.
Если на диск поместить тело (цилиндр) так, чтобы оси вращения диска и цилиндра совпадали и проходили через центры масс обоих тел, то период колебаний системы определится по формуле:
, (17.3)
где 
– момент инерции цилиндра относительно оси вращения, совпадающей с осью вращения диска.
Если переместить цилиндр вдоль поверхности диска, то его ось симметрии (перпендикулярная основаниям) останется параллельной оси вращения диска, но не будет с ней совпадать. Уравновесив систему с помощью специально предназначенных двух грузов, снова приводят её в крутильные колебания.
Теперь период колебаний системы станет равным
, (17.4)
где 
– момент инерции цилиндра относительно оси вращения, параллельной оси, проходящей через центр масс диска.
Из (17.2) и (17.3) получаем
, (17.5)
откуда
. (17.6)
В формуле (17.6) – момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра и параллельной его образующей. определяется согласно формуле:
, (17.7)
где m – масса цилиндра, r – радиус основания цилиндра.
Из соотношений (17.2) и (17.4) следует, что
, (17.8)
откуда
. (17.9)
Учитывая (17.6) и (17.7), для можно записать
. (17.10)
ЗАДАНИЕ № 1.
1. Привести диск в горизонтальное положение с помощью подвижных грузов. Горизонтальность установки диска проверить по отвесу.
2. Привести диск в колебательное движение разворотом на некоторый угол (не более 5°) и определить период колебаний согласно формуле:
, (17.11)
где 
– время колебаний диска, 
– число колебаний диска за это время.
3. Поставить на диск тело (цилиндр) так, чтобы ось вращения тела совпадала с осью вращения диска. Снова определить период колебаний системы согласно формуле:
. (17.12)
4. Переместить цилиндр вдоль поверхности диска так, чтобы ось его вращения осталась параллельной оси вращения диска. Систему уравновесить с помощью подвижных грузов, а затем привести в колебательное движение. Найти период колебаний согласно формуле:
. (17.13)
5. С помощью весов измерить массу тела (цилиндра), а с помощью штангенциркуля – радиус цилиндра. Найти момент инерции диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через центр масс, по формуле (17.7).
6. Вычислить момент инерции диска 
по формуле (17.6).
7. Вычислить момент инерции тела относительно новой оси, параллельной оси, проходящей через центр масс по формуле (17.9).
8. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 17.1.
Табл. 17.1
| № |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| m | r |
| 
| 
|
 |
Рис. 17.1. Прибор ТМ98А.
1 – основание; 2 – стойка с кронштейном; 3 – цванговый зажим; 4 – проволочный подвес; 5 – диск; 6 – два подвижных груза для уравновешивания системы
ЗАДАНИЕ № 2.
1. Измерить расстояние а между осями.
2. Вычислить 
согласно теореме Гюйгенса–Штейнера:
. (17.14)
3. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 17.2.
Табл. 17.2
| № | 
| m | а |
|
Оценка абсолютной погрешности косвенного измерения момента инерции 
проводится согласно формуле:
. (17.5)
где m, r и a – средние значения массы цилиндра, его радиуса и расстояния между осями соответственно, 
– абсолютная погрешность прямых измерений расстояния между осями (погрешностью измерения массы можно пренебречь).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое момент инерции тела?
2. Какова роль момента инерции во вращательном движении?
3. Выведите формулу для момента инерции:
а) полого тонкостенного цилиндра радиусом R относительно его оси симметрии (перпендикулярной основаниям);
б) сплошного цилиндра или диска радиусом R относительно его оси симметрии (перпендикулярной основаниям);
в) прямого тонкого длинного стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину;
г) прямого тонкого длинного стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец;
д) шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр.
4. Сформулируйте и поясните теорему Гюйгенса–Штейнера.
5. Может ли масса тела рассматриваться как точечная, сосредоточенная в его центре масс, если требуется рассчитать момент инерции тела?
6. Два диска одинаковой массы и толщины сделаны из различных металлов (меди и алюминия). Какой из них обладает большим моментом инерции?
7. Требуется определить момент инерции тела сложной геометрической формы. Математический расчет в этом случае оказывается крайне трудным. Предложите способ, с помощью которого момент инерции такого тела мог бы быть определен экспериментально.
8. Решите одну из задач (см. задачи для самостоятельного решения) по выбору преподавателя.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Найти момент инерции J и момент импульса L земного шара относительно оси вращения.
2. Доказать теорему Штейнера для системы двух материальных точек, вращающихся вокруг вертикальной оси, перпендикулярной прямой, соединяющей эти точки.
3. Прямой круглый однородный конус имеет массу m и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.
4. Диск с вырезом (см. рис. 17.2) вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр выреза. Плотность материала диска r, толщина h, радиус диска R, радиус выреза r. Расстояние между центрами диска и выреза а. Определите момент инерции данного тела относительно указанной оси.
 |
Рис. 17.2
5. Определите момент инерции тонкого стержня массой m и длиной l, расположенного под углом a к оси. Ось проходит на расстоянии а от одного из концов стержня (см. рис. 17.3).
 |
Рис. 17.3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18