§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.
4.
n Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
n Теорема (о параллельных прямых). Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
5.
● Лемма (о пересечении параллельными прямыми плоскости). Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
n Теорема (о связке параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
6.
n Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
● Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскость.
○ Замечание 1. Если прямая параллельна плоскости и лежит в плоскости, пересекающей данную, то прямая параллельна линии пересечения плоскостей.
○ Замечание 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.
7.
Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
● Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
|
|
○ Следствие. Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
а) прямые пересекаются;
б) прямые параллельны;
в) прямые скрещиваются.
n Теорема (свойство скрещивающихся прямых). Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
8.
○ Определение. Полуплоскостью называется каждая из двух частей, на которые прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость.
○ Определение. Два луча называются сонаправленными, если
1) они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей, проходящей через их начала, или
2) они лежат на одной прямой и совпадают или один из них содержит другой.
● Теорема (об углах с сонаправленными сторонами). Углы с сонаправленными сторонами равны.
9.
○ Определение. Углом между пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных ими.
○ Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
○ Теорема (корректность определения скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора пересекающихся прямых, им параллельных.
§ 3. Параллельность плоскостей.
10.
● Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
n Теорема (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
|
|
11.
Теорема (1 свойство параллельных плоскостей). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Теорема (2 свойство параллельных плоскостей). Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
○ Теорема (3 свойство параллельных плоскостей (N 55)). Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
○ Теорема (4 свойство параллельных плоскостей (N 58)). Если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
○ Теорема (5 свойство параллельных плоскостей (N 59)). Через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.
○ Теорема (2 признак параллельности плоскостей (N 60)). Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны.
§ 3. Тетраэдр и параллелепипед.
12.
○ Определение. Два ребра тетраэдра называются противоположными, если они не имеют общих вершин.
13.
○ Определение. Две грани параллелепипеда называются противоположными, если они не имеют общих ребер.
○ Определение. Две грани параллелепипеда называются смежными, если они имеют общее ребро.
○ Определение. Две вершины параллелепипеда называются противоположными, если они не принадлежат одной грани.
○ Определение. Диагональю параллелепипеда называется отрезок, соединяющий противоположные вершины.
○ Теорема (1 свойство параллелепипеда). Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
|
|
Теорема (2 свойство параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
14.
Определение. Секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) называется плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда).
○ Определение. Сечением тетраэдра (параллелепипеда) называется многоугольник со сторонами, образованными пересечением секущей плоскостью с гранями тетраэдра (параллелепипеда).
ГЛАВА 2