Было бы несправедливо видеть целью обращения Гегеля к математике, что он у Ньютона выявил ошибки. Не Гегеля это дело, пусть разбираются с ошибками сами. Гегель философ и сфера его деятельности, - общие вопросы. Конкретноеслужит только примером, лишь иллюстрацией вопроса о месте математики в системе научного знания и о ее возможностях.
Мысль, которую несет Гегель научному сообществу, - Бог математики не всесилен. Власть его простирается лишь до определенных пределов, вне которых человек должен брать ответственность на себя. Далее этих границ выводы из «математических рассуждений» не могут уже считаться непогрешимыми.
На примере «математических рассуждений» Ньютона Гегель и показывает, к чему приводит слепая вера во всесилие математики, когда для этого нет уже никаких оснований.
Цитировать Гегеля порой просто неловко, - все же кажется, что он переходит границы дозволенного. Или в те времена еще не раздавали направо и налево должностей «Гениев всех времен и народов» и критика в науке считалась нормой?
Говоря бесцеремонней, Гегель, хотя и в свойственной ему деликатной манере, но произносит страшное слово, - подлог.
Наверное, за математику его и предали анафеме.
Да он такое пишет. Здесь не то, что писать, повторять страшно. Позвольте все-таки, как это уже было в случае с «неслыханной метафизикой», изложить мысли Гегеля на современном языке. А то могут и не понять, ну ведь не поняли же 200 лет.
Перевожу на современный:
Дурят они, - нет в «математических рассуждениях» никаких доказательств.
«математика вообще не в состоянии доказать определения величины в физике, …математика не в состоянии это сделать по той простой причине, что она не философия» [24, 358].
Гегель.
Очки втирают, пользуясь тем, что язык математики (в некоторых ее областях) доступен лишь ограниченному кругу специалистов. И еще большой вопрос, - понимают ли они его сами, или просто… привыкли пользоваться?
Надо сказать, что подобные мысли порой проскальзывают и сегодня, но очень уж осторожно.
«Квантовая механика основана на математическом формализме довольно высокого уровня, который в свое время представлял трудности даже для самих основателей теории» [66, 9].
Ф. Каройхази.
А Гегель не церемонится, - идет подгонкаформул с целью придать видимость доказанности каким-то своим идеям, скорее всего бредовым, - иначе чего же фокусничать?
А как еще понимать, когда по поводу доказательств Ньютона, - это Великого-то Ньютона! – употребляются такие выражения, как - «жонглерство доказательствами»?
Как - «удивительный прием Ньютона…- изобретенная им остроумная уловка»?
Как - «фокусничество»?
Это же все равно, что заявить такое об Эйнштейне в 60-х, - из партии бы исключили! Сожгли бы на костре, как Пастернака, - и каждый из коллег подбросил бы хворосту.
Действительно начинает доходить, почему это «математики и естествоиспытатели не могут найти достаточных слов для выражения своего ужаса»? - Энгельс [6, 326].
Подлог, обман, слышится в словах Гегеля, но снизим обвинительный тон, - обман не сознательный. Это самообман, основанный на неоправданной вере во всесилие и непогрешимость математики в тех областях, где она не обладает ни первым, ни вторым.
Гегель анализирует истоки этой веры, пытается определить границы непогрешимости математики, - те самые, за которыми, по выражению Энгельса, открывается в математике путь к заблуждениям.
Еще задача, - определить способы пользования математикой за этими границами.
Автор считает необходимым ознакомить читателя непосредственно с мыслями Гегеля, надо же нам взглянуть его глазами на современные физические конструкции, - не являются ли хотя бы некоторые их них той самой неслыханной метафизикой, имеющей основания не в реальности, а всего лишь в математических определениях?
Поводов для сомнений, надо сказать, высказывается достаточно.
«Клаузиус весьма элегантно облек термодинамику в функциональную форму, содержащую набор математических соотношений между результатами наблюдений; однако если опустить их, то окажется, что нет и предмета для обсуждения.
Больцман придал термодинамике не менее красивую статистическую форму (ее основное соотношение выгравировано на его надгробии). Однако и в этом случае ее содержание в большей мере также сводится к уравнениям, без которых по существу нет предмета для анализа» [69, 21].
П. Эткинс.
«Материя исчезла, остались одни уравнения» [55, 326].
Ленин.
К Эйнштейну по этому вопросу обратимся позже.
Понятие.
«Естествоиспытатели должны знать, что итоги естествознания суть понятия» [11, 393].
Ленин.
Надо разбираться, в конце концов, что это за панацея такая, -
определение понятий?
И как это с ней, видите ли, и без математики можно?
Да, да, Гегель так и говорит, -
«для выражения более богатых понятий эти средства (пространственные фигуры и числа – Л.Ф.) оказываются совершенно недостаточными, так как внешний характер их сочетаний и случайность их связи делают их вообще неадекватными природе понятия и приводят к тому, что становится совершенно неясным, какие из многочисленных отношений, возможных в составных числах и фигурах, должны быть приняты нами во внимание» (выделено мной – Л. Ф.) [9. 57-58].
То же ведь и Энгельс, хотя и осторожнее, -
«там, где дело идет о понятиях, диалектическое мышление приводит, по меньшей мере, к столь же плодотворным результатам, как и математические выкладки» [6. 67].
И снова Гегель.
«Если хотят применить числа, степени, математически бесконечное и тому подобное не в качестве символов, а в качестве форм для философских определений и тем самым в качестве самих философских форм, то следовало бы, прежде всего, вскрыть их философское значение, т. е. их понятийную определенность. А если это сделают, то они сами окажутся излишними обозначениями…» (выделено мной – Л. Ф.) [24, 417].
Что же это такое, - понятие?
Понятие есть идеальный образ объекта действительности.
Понятие - одна из центральных категорий гегелевской философии. Природа состоит для человека (субъекта) из объектов, сознание же есть свойство головного мозга отражать эти объекты в виде идеальных образов, - понятий. Ни дома, ни горы, и ни самолеты «складируются» в нашей голове (в сознании) и функционируют в процессе мышления, - их идеальные образы,- понятия.
«…вещь может быть для нас не чем иным, как нашим понятием о ней» [24, 87].
Гегель.
Сознание человека, тем не менее, не отражает объекты действительности адекватным образом, - мир донаучногознания есть мир еще не понятий, а представлений.
В представлении знание об объекте в основе своей субъективно, оно может быть поверхностным, неглубоким, может быть и ложным. В процессе научного познания, в процессе всестороннего рассмотрения объекта и вырабатывается о нем понятие, - отобразить объект во всем многообразии его действительных свойств и отношений есть по Гегелю определить понятие.
Совпадение понятия с объектом есть истина.
“...мы называем истиной согласие предмета с нашим представлением. Мы имеем при этом в качестве предпосылки предмет, которому должно соответствовать наше представление о нем” [17, 126].
Гегель.
Если предметом науки являются законы и категории ее объекта, то основные понятия науки – это и есть ее категории.
Определение понятий есть основная задача науки.
Если какой-то объект или явление действительности стали предметом научного изучения, - представления о них возведены, таким образом, как бы в ранг научной категории, то это, увы, еще не говорит о достижении истины, или, - гегелевским языком, - что понятие данного объекта определено.
Вопрос этот, - определения понятий, - чего уж скромничать, иначе как больным и не назовешь. Особенно для физики. Сегодня мы не можем объяснить толком даже такие вещи, как электричество? Не можем сказать, что такое поле? Что же касается понятия атома, то слова Тейяра де Шардена, пожалуй, как нельзя лучше характеризуют степень его определенности:
«Нынешние представления об атоме в значительной мере всего лишь временное графическое средство, позволяющее ученым группировать все более многочисленные «эффекты», проявляемые материей, и проверять их непротиворечивость» [13, 43].
Тейяр де Шарден.
Обратить внимание на лексику, - у де Шардена об атоме - «представление », - не понятие.
Это и есть, - понятие не определено.
Из-за вялости мысли, господа, прошу прощения, это не я, а Гегель.
И это мы говорим о понятиях, которым по сотне лет, а что же тогда говорить о кварках, глюонах, и … несть им числа?
Трудно цитировать Гегеля, без предварительных отступлений в гегелевское мировоззрение цитаты порой выглядят абсурдными, думается, однако, что в нашем случаемы можем несколько сузить сферу рассматриваемого, и не касаться вопроса о месте понятия в гегелевской системе объективного идеализма. Для нашего вопроса, - о невозможности перевода «математических рассуждений» Ньютона (и Эйнштейна) на язык физических моделей, сказанного вполне достаточно.
Ввиду большой простоты и, если так можно выразиться, - прозрачности содержания первичных математических символов, категории «понятие» и «идеальная модель», - «физическая форма» у Гегеля, - на данном уровне углубления в мир математики практически совпадают. Чем, например, «понятие треугольника» отличается от «идеальной модели треугольника»? Или понятие круга от его мысленной модели?
Казалось бы, - в чем тогда вопрос? Увы, далеко не все математические определения обладают наглядностью физической модели. Учитель не раз услышит от ученика, - ну, не могу я себе представить бесконечность [2].
Но бесконечность в математике, - это только первые шаги к потере наглядности. В математике, в той ее части, что неспециалист относит обычно к «высшей математике», есть масса определений, за которыми не просматривается никакого физического смысла. Сможете Вы, например, представить наглядно [3] хотя бы корень квадратный из минус единицы?
«…только один непризнанный великий математик письменно жаловался Марксу, будто я дерзновенно затронул честь 
».
Энгельс *.
Слава Богу, в математике есть сфера, где наглядность присутствует.
Эта ситуация как бы естественной определенности первичных математических символовотнюдь не привилегия только математики, с подобным мы встречаемся везде, как только речь заходит о хорошо известных объектах, - на языке Гегеля, - об объектах, понятия которых определены.
Содержание, например, категории «понятие дома» и «модель дома» (идеальная, разумеется), говоря словами поэта, - не столь различны меж собой. Различие здесь не в сути, а лишь в конкретности. Это же не философские категории, - «модель материи », или «модель возможности », - как-то и не выговоришь, - и не понятия естественных наук, для определения которых еще не хватает опытных данных.
Приходится добавить, что и не понятия математики, выходящие за ту самую сферу первичных математических символов.
Мы в наших рассуждениях вращаемся (пока еще) в этой сфере, - в кругу понятий, которые определены. Определены в том смысле, что круг, или треугольник мы физически осязаем, для нас не стоит вопроса, - что это? В силу этого мы не прегрешим против истины, если будем приравнивать содержание терминов понятие и мысленная модель.
В русле наших рассуждений мысль Гегеля должна звучать так, - «Лишь вялость мысли, желая избавиться от труда определения понятий (построения идеальных моделей изучаемого процесса – Л.Ф.), прибегает к формулам…».
Не считая возможным обойтись без цитирования самого Гегеля, автор набрался смелости излагать его мысли с небольшими комментариями, - в вольном, так сказать, переводе с идеалистического на материалистический, стараясь, тем не менее, от текста по возможности не отходить.
Мы говорили об использовании в познании математических методов.
«…остается несомненным, что понятие (наглядная модель изучаемого процесса – Л.Ф.) обосновывает более определенное осознание, как руководящих принципов рассудка, так и порядка и необходимости этого порядка в арифметических операциях и в положениях геометрии.
Было бы …излишним и неблагодарным трудом пользоваться для выражения мысли таким неподатливым и неадекватным материалом, как пространственные фигуры и числа, и насильственно (выделено мною, - Л.Ф.) трактовать этот материал так, чтобы он подходил для этой цели. Простейшие первые фигуры и числа могут, не вызывая недоразумений быть применены в качестве символов благодаря их простоте; они, однако, всегда оказываются для мысли чужеродным и малоудовлетворительным способом выражения [9, 57].
Гегель.
Гегель просматривает и саму историю появления этих двух специфических способов объяснения, - языком математической символики и языком понятий. Восходит она к Древней Греции, к младенческому, как говорит Гегель, периоду философствования, когда люди уже пользовались словами для обозначения тех или иных вещей, но еще не углублялись в их изучение, не обладали еще искусством объяснять, - что это такое?
Полковники Циллергуты тех времен еще не достигли вершин своего искусства *, и яблоко ели, не ломая голову, - что есть яблоко?
«Именно в младенческом периоде философствования числа… употреблялись, например, Пифагором для обозначения общих, сущностных различий. Это было подготовительной ступенью к чистому мыслящему пониманию; лишь после Пифагора были изобретены, т. е. были осознаны особо, сами определения мысли. Но возвращаться от последних назад к числовым определениям – это свойственно чувствующему себя бессильным мышлению, которое в противоположность существующей философской культуре, привыкшей к определениям мысли, присовокупляет к своему бессилию смешное желание выдавать эту слабость за нечто новое, возвышенное и за прогресс» [24, 416].
Гегель.
Вера во всемогущество математики, показывает Гегель, держится на том, что –
всегда было правильно.
Увы, здесь не учитывается, что вера эта вырабатывалась в период, когда наша умственная деятельность вращалась в кругу первичных математических символов, круг которых можно условно ограничить сферой, где понятия были еще определены.
Определены, - еще без науки, самой повседневной практикой.
Мы начинаем считать, - вычитать и складывать, - когда не умеем еще не то что читать, не умеем и мыслить. И здесь, - и это главное, - мы прибавляем не абстрактные числа, а конкретные предметы, - камушки, яблоки, конфеты. Наше математическое взросление наполнено смыслом, и наши знания в этой сфере усложнялись, не отрываясь от этого самого физического смысла, - здесь и вырабатывается непоколебимая вера в могущество и непогрешимость математики.
Но именно на основе того, что всегда правильно, благодаря вере в это – правильно, вырабатывается и механическое, не контролируемое сознанием пользование математическими операциями. Пока круг используемой символики не выходит за границы первичных математических символов, то все опять - правильно, и это все более и более укрепляет нашу веру в непогрешимость математических вычислений.
Увы, за границей сферы первичных математических символов нас ждет математическая символика, которая не дает оснований для выполнения механических, не контролируемых сознанием, как их называет Гегель, «математических рассуждений», но у нас уже выработалась вера, что в математике всегда все правильно.
Здесь, за пределом круга первичных математических символов в уже бессознательной, механической цепи математических рассуждений появляются звенья, которые содержат в себе возможность неоднозначного толкования и открывают путь к заблуждениям.
Гегель связывает эту границу с переходом к употреблению таких сложных «математических определений… как бесконечное, его отношения, бесконечно-малое, множители, степени и т. д.» которые «…берутся там вне понятия (вне всякой связи с физическими моделями – Л.Ф.) и часто даже бессмысленно» * [9, 58].
Энгельс связывает переход этой границы, где все еще возможно механическое, бессмысленное использование математической символики с периодом, «когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого … Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушла в прошлое; наступила эра разногласий, и мы дошли до того, что большинство людей дифференцирует и интегрирует не потому, что они понимают, что они делают, а просто потому, что верят в это, так как до сих пор результат всегда получался правильный» (выделено мною – Л.Ф.) [26, 84-85].
Стоит заметить, что указание о трудностях при обращении к «бесконечному», что так упорно ухитрялись не замечать у Гегеля естествоиспытатели, «просачиваются» в естествознание даже и вопреки «природного отвращения естествоиспытателей к философии» [4].
Увы, - за все приходится платить, - с запозданием в два столетия.
«Физики не зря не любят бесконечностей. Везде, где появляются бесконечности, появляются трудности: формулы теряют смысл, законы неприменимы, пространственно-временные описания невозможны» [79, 36].
Рафаил Нудельман.