Как пример выхода математики за сферу круга, где еще возможно механическое использование математических операций, можно привести рассуждения Гегеля о понятии математического бесконечного, которое, по его словам,достойно внимания «ввиду расширения [сферы] математики и ввиду великих результатов, достигнутых благодаря введению его в математику» [24, 321]. Но, как показывает Гегель, математическое бесконечное - не определено [ii], мы пользуемся им не отдавая себе отчета, а что же это такое?
«Еще не удалось посредством понятия… обосновать правомерность его (математического бесконечного – Л.Ф.) применения. Все обоснования зиждутся в конечном счете на правильности результатов, получающихся при помощи этого определения, правильности, доказанной из других оснований, но не на ясности предмета и действий, благодаря которым достигнуты эти результаты; более того, признается даже, что сами эти действия неправильны.
Это уже само по себе недостаток; такой образ действия ненаучен. Но он влечет за собой еще и тот вред, что математика, не зная природы этого своего орудия из-за того, что не справилась с его метафизикой и критикой, не могла определить сферу его применения и предохранить себя от злоупотребления им» [24, 321].
Гегель.
Результатом такого ненаучного образа действий и является, что мы не можем разобраться с физическим смыслом результатов собственных «математических рассуждений», и вместе с гением заявляем:
«Ньютонова формулировка закона тяготения – это сравнительно простая математика. Но она становится все менее понятной и все более сложной по мере того, как мы продвигаемся вперед. Почему? Не имею ни малейшего понятия» [12, 39].
Фейнман.
Это нобелевский лауреат-то, который «описывает природу математически» [12, 59], - и не имеет понятия?
А как же нам, Рафаил *?
Пару слов о педагогике.
Гегель, по его собственным словам, был прежде всего «школьным учителем» [80, XI].
Мих. Лифшиц.
Считая, что цитирование критического анализа Гегелем «математических рассуждений» Ньютона сильно утяжелило бы изложение, приведу все же небольшую выдержку.
«Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона… - на изобретенную им остроумную уловку для устранения арифметически неправильного (выделено мною, - Л.Ф.) отбрасывания произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при нахождении дифференциалов…
(идут математические формулы, что автором опускается – Л.Ф.)
…Однако при всем уважении к имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неправильно…
(математические формулы)
…Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом ряда, содержащим важную для данной задачи степень» [24, 346-347].
Гегель.
Имеем ли мы аналоги подобного анализа математических рассуждений творцов современных физических теорий?
Вот что было бы надо изучать в физико-математических школах. Тогда, фээмшата *, - очень способный народ! - научившись свободно ориентироваться как в математике, так и философии, прочтут может быть математические рукописи естествоиспытателей, вознесенных на философский Олимп.
Боюсь, что приговор будет тот же, - неслыханная метафизика, от которой бы открестилось даже Средневековье.
А Гегель-педагог переживает, - открывается страница бессмысленной педагогики, - педагогики, делающей упор на механическое заучивание.
Вся жизнь Гегеля была связана с педагогикой, и для него
обучение есть приобщение ученика к духовному миру учителя.
«Число, - пишет Гегель, - нечувственный предмет, и занятие им и его сочетаниями – нечувственное занятие»; оно «имеет большое, но все же одностороннее значение», ибо «указанная работа становится бессмысленной, механической.Требуемое ей напряжение состоит главным образом в том, чтобы удержать то, что чуждо понятию (мысленному образу, - Л.Ф.), и комбинировать его, не прибегая к понятию. Содержанием здесь служит пустое «одно»; подлинное содержание нравственной и духовной жизни и индивидуальных ее форм, которое, как благороднейшая пища, должно служить средством воспитания юношеского духа, вытесняется бессодержательным «одним». Результатом этих упражнений, когда их делают главным делом и основным занятием, может быть только то, что дух по форме и содержанию опустошается и притупляется. [24, 292].
Как далеко мы ушли на этом поприще, вряд ли мог представить даже и Гегель.
Но вот чего не понять, - о каких «машинах, совершеннейшим образом выполняющие арифметические действия», идет речь в 1812 году?
Так как счет есть...механическое занятие, то оказалось возможным изобрести машины, совершеннейшим образом выполняющие арифметические действия. Если бы о природе счета было известно хотя бы только это обстоятельство, то одним этим был бы решен вопрос, какова ценность мысли сделать счет главным средством воспитания духа и этим подвергать его пытке – усовершенствовать себя до такой степени, чтобы стать машиной» [24, 292].
Гегель.
Наверное, все-таки понятие «совершеннейших» машин для 1812 года, и для 2003-го, - вещи разные.
Математика и наука.
Ссылка при объяснении на математику есть «удобное средство избавить себя от труда понять, указать и обосновать понятийные определения» [24, 417].
Гегель.
Дальнейшее движение вперед по пути познания с использованием математических рассуждений становится, по мнению Гегеля, возможным только при выходе на передний план физической модели.
«…поскольку математические формулы обозначают мысли и различия понятия, это их значение должно быть сначала указано, определено и обосновано в философии» [24, 291].
Гегель.
«…самому применению (математических формул – Л. Ф.) должно было бы предшествовать осознание их ценности, и их значения; но такое осознание дается лишь рассмотрением с помощью мысли, а не авторитетом, который эти формулы приобрели в математике» [24, 292].
Гегель.
«…до тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем, что может быть доказано математически, и тем, что может быть почерпнуто лишь из другого источника, равно как и различие между тем, что составляет лишь член аналитического разложения, и тем, что представляет собой физическое существование, до тех пор научность не сможет достигнуть строгости и чистоты» [24, 359].
Гегель.
«Если хотят применить числа, степени, математически бесконечное и тому подобное не в качестве символов, а в качестве форм для философских определений и тем самым в качестве самих философских форм, то следовало бы, прежде всего, вскрыть их философское значение, т. е. их понятийную определенность. А если это сделают, то они сами окажутся излишними обозначениями; понятийная определенность сама себя обозначает, и ее обозначение – единственно правильное и подходящее. Применение указанных форм естьпоэтому не что иное, как удобное средство избавить себя от труда понять, указать и обосновать понятийные определения» (выделено мной – Л. Ф.) [24, 417].
Гегель.
«Нахождение законов, выходящих за пределы опыта, т. е. нахождение положений о существовании, не имеющих существования, единственно лишь путем вычисления, выдается за торжество науки…
Нельзя отрицать, что в этой области многое, главным образом из-за туманного понятия бесконечно малого, было принято в качестве доказательства только на том основании, что то, что получалось, всегда было заранее известно, и доказательство, построенное таким образом, что получалось это заранее известное, создавало, по крайней мере, видимость остова доказательства, которую все еще предпочитали одной лишь вере или одному лишь опытному знанию. Но я не колеблясь скажу, что рассматриваю эту манеру просто как фокусничество и жонглерство доказательствами и причисляю к такого рода фокусничанью даже Ньютоновы доказательства [iii] …
Пустой остов таких доказательств был воздвигнут, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не в состоянии доказать определения величины в физике, поскольку эти определения суть законы, имеющие своей основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать по той простой причине, что она не философия, не исходит из понятия, и поэтому качественное, поскольку оно не почерпается с помощью лемм из опыта, находится вне ее сферы» [24, 358].
Гегель.
Следует все-таки отметить, что есть мыслители, которые и сегодня смотрят на эту проблему подобным взглядом.
«Основная черта математического описания – абстрактность. Оно является… системой понятий и символов, представляющих собой карту реальности. На этой карте запечатлены лишь некоторые черты реальности; мы не знаем, какие именно, поскольку мы начали составление своей карты в детстве без критического анализа. Поэтому слова нашего языка не имеют четких определений. У них несколько значений, большая часть которых смутно осознается нами и остается в подсознании, когда мы слышим слово…
Научный метод абстрагирования очень продуктивен и полезен, но за его использование нужно платить. По мере того, как мы все точнее определяем нашу систему понятий и делаем все более строгими правила сопоставлений, она все больше отдаляется от реального мира» [14, 27-29].
Фритьоф Капра.
Мысли Фритьофа Капра просто невозможно не проиллюстрировать словами Фейнмана о ньютоновской теории.
«Со времен Ньютона и до наших дней никто не мог описать механизм, скрытый за законом тяготения, не повторив того, что уже сказал Ньютон, не усложнив математики или не предсказав явлений, которые на самом деле не существуют» [12, 39].
Фейнман.
Отмечая что «в физике познание представляет собой трехступенчатый процесс научного исследования» [14, 26]: сбор экспериментальных данных, выработка математической модели и третий этап – создание физической модели, - взгляд на структуру научного исследования фактически переплетающийся со взглядами Галилея, - Фритьоф Капра проводит мысль о крайней ограниченности возможностей математических методов исследования, если они не дополняются языком физических моделей.
«Научное исследование безусловно, в первую очередь, состоит из рационального знания и рациональной рефлексии, но не сводится к этому. Бесполезной была бы рациональная часть исследования, если бы за ней не стояла интуиция *, которая одаривает ученых новыми открытиями и таит в себе их творческую силу. Озарения обычно приходят неожиданно и, что характерно, не в минуты напряженной работы за письменным столом, а во время загородной прогулки, на пляже, или под душем. Когда напряженная умственная работа сменяется периодами релаксации, интуиция словно берет верх, и порождает кристально ясные откровения, привносящие в процессе научного исследования неповторимое удовольствие и наслаждение.
Однако физика не может использовать интуитивные прозрения, если их нельзя сформулировать последовательным математическим языком и
дополнить описанием на обычном языке » * * [14, 27].
Фритьоф Капра.
Как видим, Гегель не одинок в своих опасениях о несовершенстве и ограниченности в научном исследовании математического метода.
Процесс перенесения центра исследований исключительно в область математики и игнорирования модельного слоя, во времена Энгельса, вероятно, еще только набирал силу. У Энгельса то и дело вырывается раздражение, - «В книге этих двух шотландцев мышление запрещено; здесь разрешается лишь производить вычисления» [5]. Или, - по прочтении Кирхгофа, - он «способен не только вычислять, но и диалектически мыслить» [6, 78]. А вот из статьи «Мера движения. – Работа», - вычисления настолько отучили механиков от мышления, что они в течение ряда лет измеряют меру движения (энергию) то через mv2, то через mv2/2, совершенно не замечая путаницы [6, 80-81].
Сегодня уже никто не возмущается, но чем-то это напоминает эффект насыщения, вроде того как… когда у Гамлета поехала крыша, его собирались отправить в Англию, - там мол будет незаметно.
Вот о современной физике пишет В. Ацюковский: математически трудности теории «научились обходить, а физический смысл уравнений, похоже, перестал интересовать многих теоретиков. «Подумаешь, парадокс!.. В этом странном микромире еще и не такое бывает…» …Современная физика стала все более склоняться ко всякого рода абстракциям, не имеющим никакого отношения к реальной действительности» [15, 67].
С. Зигуненко ему продолжит, - «современная теоретическая физика микромира стала во многом напоминать некую религию. Но с религией, по крайней мере, дело обстоит значительно честнее: там сразу говорится, что некоторые дела и помыслыГосподни нам понять не дано. И точка» [15, 67].
Много нетрадиционного мог бы найти исследователь, сделавший взгляды Гегеля на математику предметом своего интереса. Сама, например, постановка вопроса о статусе математики. Развитие духа имеет у Гегеля как бы две ступени, - разум, и ей предшествующая, более низкая ступень – рассудок.
Математика относится Гегелем к наукам рассудка *.
На этом уровне, - говорит Гегель, - «разум, ограничивают познанием только субъективной истины, только явления, только чего-то такого, чему не соответствует природа самой вещи; знание низведено до уровня мнения» [24, 98]. В то время как «Разум ищет не своего, а истинного» [17, 80].