Дифракция на круглом отверстии
Пусть плоская монохроматическая световая волна падает на экран с круглым отверстием. Экран перпендикулярен направлению распространения волны. Рассмотрим, как меняется амплитуда светового поля А в точке Р в зависимости от изменения радиуса отверстия z.
На рисунке построены спирали Френеля для случаев, когда в пределах отверстия укладывается разное число зон Френеля. Последний случай соответствует отсутствию экрана, т. е. свободному распространению световой волны. Можно построить искомую зависимость.
Как видно из рисунка, френелевская теория предсказывает монотонное изменение амплитуды поля при увеличении радиуса отверстия. Пока открывается первая зона Френеля, амплитуда в точке Р постепенно увеличивается и достигает максимума при полностью открытой зоне. По мере открывания второй зоны амплитуда понижается и при полностью открытых двух зонах понижается почти до 0, затем повышается снова и т. д.
Из графика видно, что максимальная амплитуда света в точке наблюдения достигается, когда отверстие совпадает с нулевой зоной Френеля, в этом случае амплитуда поля в 2 раза (а интенсивность света в 4 раза) больше, чем в отсутствии экрана. Используя когерентный лазерный пучок с 
= 0,5 мкм, а z = 100 см, можно по формуле оценить радиусы:
Таким образом, заметных дифракционных эффектов можно ожидать при радиусе отверстия, соответствующего радиусу нулевой зоны Френеля.
К таким же выводам можно придти, если вместо увеличения диаметра отверстия будем приближать точку наблюдения Р к отверстию вдоль прямой ОР. Т. к. радиусы зон Френеля соответствующие и с формулой зависят от расстояния от точки наблюдения Р до экрана, то при этом будут последовательно открываться одна, две и т.д. зоны. Поэтому при перемещении точки Р освещенность в ней будет изменяться от максимальных значений при нечетном числе открытых зон до минимальных при четном.
Эти на первый взгляд парадоксальные результаты, предсказываемые на основе принципа Гюйгенса-Френеля, хорошо подтверждаются экспериментом. Реальные дифференцируемые картины от круглого отверстия, открывающего в непрозрачном экране небольшое целое число зон Френеля, имеют вид темных и светлых концентрических колец с темным центром в случае нечетного числа зон Френеля и со светлым центром в случае четного числа зон Френеля. Эти теоретические и экспериментальные результаты находятся в противоречии с предсказаниями геометрической оптики, согласно которой освещенность в точке Р, лежащей на одной линии с источником и центром круглого отверстия, не должна зависеть от диаметра отверстия.
Дифракция на диске.
Рассмотрим дифракцию на диске по схеме:
Плоская монохроматическая волна падает по нормали на круглый непрозрачный диск, радиуса 
, наблюдение ведется в точке Р, находящейся в геометрической тени на оси диска.
На рисунке изображена зависимость амплитуды световых колебаний A в точке наблюдения Р от радиуса диска. В данном случае амплитуда монотонно убывает. Т.е. чем больше радиус диска, тем меньше интенсивность света в точке наблюдения. Но из него видно, что даже при достаточно большом экране, закрывающем несколько зон Френеля, интенсивность света в центре геометрической тени отлична от 0.
Таким образом, теория Френеля предсказывает проникновение света в центр геометрической тени диска, установленного на пути плоской монохроматической волны. Этот результат в свое время рассматривался как аргумент против теории Френеля. Однако эксперименты, выполненные Домеником Араго (1786-1853 гг.), показали, что при освещении непрозрачного диска светом точечного источника в центре области геометрической тени действительно существует маленькой светлое пятно. Это пятно получило название пятно «Пуассона» или пятно «Араго-Пуассона».
Изучение дифракции было проведено в предположении, что источник точечный, а излучаемый им свет монохроматический. В случае протяженного источника свет от каждого элемента дает свою дифракционную картину. Вследствие полной независимости (некогерентность света отдельных элементов происходит просто) сложение интерференций в каждой точке и результирующая дифракция определяется наложением таких дифракционных картин, несколько смещенных одна относительно другой. Для наблюдения дифракции на опыте размеры источника должны быть малы, чтобы темные и светлые полосы картин от его отдельных элементов не перекрывались. Аналогично в случае немонохроматического источника. Различные спектральные компоненты его излучения создают несовпадающие дифракционные картины, т.к. размеры зон Френеля зависят от длины волны. Наблюдаемое распределение интенсивностей соответствует наложению этих дифракционных картин.
Дифракция на краю экрана.
К числу основных проблем дифракции относится задача о дифракции на краю экрана или, иными словами, вопрос о том, как происходит переход от света к тени на границе области геометрической тени.
Предположим, что плоская монохроматическая световая волна встречает на своем пути полубесконечную непрозрачную плоскость с прямолинейной границей («край экрана»). Считая, что световая волна распространяется по нормали к экрану, найдем распределение света в плоскости наблюдения, параллельной экрану и находящейся на расстоянии 
от него.
Для построения дифракционной картины воспользуемся методом зон Френеля. В качестве поверхности 
, излучающей вторичные волны, выберем полупрозрачную, являющуюся продолжением экрана; эта поверхность совпадает с волновым фронтом световой волны. Введем френелевские зоны для точки М, лежащей в плоскости наблюдения под краем экрана. Зоны Френеля имеют вид плоских полос, параллельных краю экрана. Границы обозначим О1, О2, О3 … - длина световой волны, 
- расстояние от края экрана до начала до начала френелевской зоны.
Учитывая, что 
, пренебрегаем 
.
L – площадь френелевской зоны, L – длина экрана.
т.е. 
; 
уменьшается с ростом номера зоны.
Разделим каждую зону на большое число подзон. Для определения дифракционного светового поля нужно просуммировать световые колебания, создаваемые в точке наблюдения элементарными вторичными волнами, приходящими от всех открытых зон и подзон. Суммирование будем проводить методом векторной диаграммы. Векторная диаграмма будет иметь вид:
Предположим, что теперь при фиксированной точке наблюдения край экрана начинает отодвигаться влево. Ясно, что при этом случае будут открываться зоны Френеля, расположенные слева от первоначального края экрана. Картина расположения границ зон Френеля справа и слева от точки О симметрична, поэтому симметрична будет и спираль Френеля.
Пользуясь спиралью Френеля, можно построить полную картину дифракции света на краю экрана.
Полученный результат хорошо согласуется с данными эксперимента по дифракции лазерного пучка на краю экрана.
объяснить ряд дифракционных явлений: дифракцию на отверстии, дифракцию на диске и дифракцию на краю экрана. Это позволяет сделать вывод, что в основе дифракционных явлений действительно лежит интерференция элементарных вторичных волн.
Если рассматривать теперь свободное распространение плоской волны и провести нормировку интеграла Гюйгенса-Френеля, то можно найти вид функции 
, и оказывается, что 
, тогда интеграл запишется в виде 
.
Дифракционная длина светового пучка. Ближняя и дальняя зона.
Обратимся еще раз к задаче о дифракции точкой световой волны на круглом отверстии и попытаемся выяснить, как меняется интенсивность света 
на оси отверстия по мере увелеичения расстояния от экрана z. Если расстояние z зафиксировано, то радиусы френелевских зон выражаются формулой:
n – номер зоны, - длина световой волны. Теперь будем считать фиксированным радиус отверстия z. Тогда по мере удаления от экрана периферийные зоны Френеля одна за другой начнут выходить за пределы отверстия, пока, наконец, в пределах отверстия не останется одна, нулевая зона Френеля. В этот момент интенсивность в точке наблюдения достигает максимума, после чего монотонно убывает с ростом z.
Назовем расстояние z, при котором отверстие совпадает с нулевой зоной Френеля, дифракционной длиной светового пучка. Из рисунка видно, что z определяет границу между двумя различными зонами. Зона, для которой 
называется ближней зоной. В этой зоне световой пучок сохраняет структуру, заданной формой отверстия, а интенсивность света на оси пучка примерно равна исходной интенсивности световой волны. Для точки ближней зоны в пределах отверстия помещается: множество зон Френеля, поперечный профиль пучка поддерживается постоянным за счет интерференции элементарных вторичных волн, идущих от разных зон Френеля.
Зона, для которой 
, называется дальней зоной дифракции. В этой зоне: Интенсивность света на оси пучка меньше интенсивности исходной волны, следовательно, световой пучок расширяется. Для точек дальней зоны в пределах отверстия помещается только центральная часть нулевой зоны Френеля. Интерференция элементарных вторичных волн выражена слабее. Она уже не в состоянии поддерживать исходный поперечный профиль пучка, пучок становится расходящимся.
Используя определение и формулу для радиуса зон Френеля, показать, что
,
где r – радиус пучка, – длина световой волны. ?????????? связана с числом Френеля, определяемым формулой
т. е. в ближней зоне 
, а в дальней 
.
Дифракционная расходимость пучка в дальней зоне.
Характер изменения поперечного размера светового пучка в процессе дифракции показан на рисунке.
Оценим 
– дифракционную расходимость пучка.
Исходя из представления об интерференции элементарных вторичных волн, естественно допустить, что положение границы светового пучка определяется условием 
. – длина волны, 
- разность хода лучей, приходящих в даннуюточку от противоположных границ. Из рисунка видно, что
d – диаметр отверстия, – угол дифракционной расходимости. Как правило, дифракционная расходимость невелика (
), поэтому можно записать приблизительное соотношение
Формула определяет дифракционную расходимость светового пучка в дальней зоне. Здесь – длина волны, d – начальный диаметр пучка. Диаметр пучка в дальней зоне определяется формулой:
z – координата, ???????????? вдоль пучка от экрана с отверстием. Формула показывает, что дифракционная расходимость пучка тем больше, чем меньше его начальный размер. Этот результат можно проверить экспериментально, используя лазерный пучок и ??????? диафрагму или ???????? щель (гелий-неоновый лазер).
Фокусировка света как дифракционное явление.
Оценка дифракционной расходимости светового пучка позволяет оценить минимальный поперечный размер светового пучка, который может быть получен при фокусировке света линзой. Этот параметр важен для физической оптики, т. к. он устанавливает предел концентрации света в пространстве. Схема показана на рисунке. Будем исходить из того, что картина фокусировки симметрична относительно фокальной плоскости линзы. Справедливость этого подтверждается опытом, правилами геометрической оптики и теорией, основанной на решении волнового уравнения.
Расходимость пучка справа от фокальной плоскости определяется дифракцией.
Используя формулу для можно записать
– диаметр пучка в фокальной плоскости. С другой стороны этот же угол можно вывести через фокусное расстояние F и диаметр пучка, попадающего на линзу:
(1)
где – длина световой волны, F – фокусное расстояние линзы, D – диаметр пучка. Какова минимально возможная величина ? Если диаметр пучка равен диаметру линзы, то величина тем меньше, чем больше отношение диаметра линзы к ее фокусному расстоянию. Параметр 
называется относительным отверстием линзы. На практике удается изготавливать линзы с относительным отверстием не более единицы. В наиболее благоприятном случае, когда 
, получаем 
, т.е. диаметр фокального пятна соответствует длине световой волны.
Формула для для пространственно-когерентного пучка. В случае некогерентного пучка величину D следует заменить на радиус когерентности света 
. При этом увеличивается.
Оценим длину фокальной перетяжки 
. Из формул 
и 
видно, что длину перетяжки можно принять равной удвоенной дифракционной длине пучка с начальным диаметром :
таким образом,
(2)
или с учетом формулы
Итак, диаметр и длина фокальной перетяжки определяются формулами (1), (2). Данные формулы следует рассматривать как оценки, полученные на основе физических соображений. Более точные выражения могут быть получены на основе математической теории дифракции, т.е. путем решения волнового уравнения при соответствующих граничных условиях.
Теория дифракции Кирхгоффа.
Основная задача теории дифракции состоит в отыскании структуры светового поля при наличии препятствий распространению волны.
После открытия уравнений электродинамики и электромагнитной природы света была сформулирована математическая задача дифракции как задача отыскания решений волнового уравнения, удовлетворяющих определенным граничным условиям:
+ г. у.
Кирхгофф предложил использовать следующие приближенные граничные условия для светового поля: 1) в пределах отверстия поле таково, как если бы экранов не было, 2) а на теневой стороне экранов поле равно нулю.
Несмотря на очевидно соответствующий характер условий, оказывается, что в оптике (ввиду малости длины световой волны) они обеспечивают достаточную точность вычислений.
Дифракционный интеграл Кирхгоффа-Гельмгольца в точности совпадает с дифракционным интегралом Гюйгенса-Френеля. Однако теория Кирхгоффа показывает, что на самом деле коэффициент наклона определяется формулой:
Основной вклад в дифракционный интеграл вносят центральные (приосевые зоны Френеля), для которых 
, полагая 
– значение, предложенное Френелем.
Итак, Френель правильно угадал структуру дифракционного интеграла. Теория его сохраняет свое значение, прежде всего как система наглядных образов, хорошо раскрывающая физику дифракции света. Математическая формулировка задачи дифракции, основанная на теории Максвелла, позволяет использовать для решения дифракционных задач хорошо разработанный аппарат математической физики, в частности, метод спектрального разложения, метод параболического уравнения, а также применять мощные и универсальные методы численного моделирования.
Дифракция в дальней зоне.
Наибольший практический интерес представляют дифракционные явления, наблюдаемые при падении на экран (или отверстие в экране) параллельного пучка света. В результате дифракции пучок утрачивает параллельность, т.е. появляется свет, распространяющийся в направлениях, отличных от первоначального. Распределение его интенсивности на очень большом (в пределе бесконечно большом) расстоянии от экрана соответствует дифракции Фраунгофера. Волны, возникающие в результате ограничения фронта падающей волны при прохождении сквозь отверстие в экране, называются дифрагировавшими, а нормали к их волновым поверхностям – дифрагировавшими лучами. Они не существуют в рамках геометрической оптики. Возникновение дифрагировавших волн при прохождении через отверстие означает, что волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть строгой плоской. Разложение волны с ограниченным фронтом на сумму плоских волн (т.е. пространственное разложение Фурье) содержит слагаемые с волновыми векторами различных направлений. Эти слагаемые и соответствуют дифрагировавшим волнам. Угловой разброс в направлении распространения для пучка шириной d из-за дифракции не может быть меньше 
.
Таким образом, в дальней зоне угловое распределение интенсивности излучения перестает зависеть от координаты z, отсчитываемой вдоль оси пучка. Картина дифракции приобретает устойчивую структуру, вид которой зависит только от распределения поля в начальном сечении.
Чтобы еще раз вспомнить, как меняется характер дифракции в зависимости от изменения числа Френеля 
(числа открытых зон Френеля, что соответствует изменению расстояния от источника), рассмотрим 3 графика зависимости интенсивности излучения, прошедшего через щель шириной d от параметра 
, где 
– расстояние до точки наблюдения Р от оси пучка.
Рисунки 3
Из рисунка видно, как меняется характер дифракции при изменении числа Френеля. Если s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="32"/></w:rPr><m:t>≫1</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> (рис. «а»), то дифракция почти не проявляется, и хорошую точность дает приближение геометрической оптики. В данном случае: 1) профиль интенсивности излученияостается почти прямоугольным, 2) ширина пучка равна ширине щели, а 3) интенсивность света на оси пучка совпадает с плоскостью падающей волны. Влияние дифракции в этом случае заметно лишь вблизи границы области геометрической тени, где наблюдаются осцилляции интенсивности, и свет проникает в область геометрической тени. По мере удаления от экрана со щелью, число Френеля уменьшается. В области, где s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:color w:val="000000"/><w:sz w:val="32"/></w:rPr><m:t>в‰?1</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> 
(рис. б), интенсивность на оси испытывает значительные осцилляции, появляются боковые максимумы интенсивности, однако ширина светового пучка все еще примерно равна ширине щели. В области (рис. в) s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:color w:val="000000"/><w:sz w:val="32"/></w:rPr><m:t>в‰Є1</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> (дальняя зона дифракции) световой пучок сильно уширяется, и поперечный профиль пучка не имеет ничего общего с исходным прямоугольным профилем.