Практически дифракцию Фраунгофера наблюдают не в бесконечности, а в фокальной плоскости объектива (собирающей линзы) или с помощью зрительной трубки, установленной на бесконечность. Схема дифракции Фраунгофера в фокальной плоскости собирающей линзы:
Рисунок
Падающий на экран параллельный пучок можно получить, если точечный источник S поместить в фокус линзы (формирующая параллельный пучок линзы называется коллиматором). Размеры линзы должны быть много больше размеров отверстий в экране, чтобы наблюдаемое рапсределение интенсивности было обусловлено дифракцией при ограничении фронта волны именно отверстиями в экране, а не оправами линз.
Если отверстие в экране представляет собой узкую щель, то изображение точечного источника S в фокальной плоскости объектива растягивается в полоску, перпендикулярную щели. Освещенность полоски от середины к краям уменьшается немонотонно, проходя через ряд минимумов и максимумов. При повороте щели вся картинка также поворачивается.
При отсутствии экрана с щелью между линзами ограничение поперечного сечения светового пучка осуществляется апертурной диафрагмой, роль которой в рассматриваемой схеме играет оправа меньшей из линз. Создаваемое идеальной оптической системой изображение точечного источника S представляет собой не точку в сопряженной с S плоскостью (как это следует из геометрической оптики), а фраунгоферову дифракционную картину, возникающую вследствие ограничения сечения светового пучка.
В демонстрационных опытах с использованием лазерного излучения необходимость в коллиматоре и объективе отпадает. Щель вводят непосредственно в пучок. Световые колебания когерентны по всему поперечному сечению лазерного пучка. Это значит, что в отношении когерентных свойств излучения лазер можно рассмотреть как находящийся на большом расстоянии точечный источник. На экране, отстоящем от щели на расстояние 10 м наблюдается фраунгоферова дифракционная картина: пятно размывается в перпендикулярную щели длинную полоску с постепенно спадающей к краям освещенностью, прорезанную эквидистантными темными минимумами. Ширина центрального максимума вдвое больше, чем боковых.
Рассмотрим схему. Пусть плоская монохроматическая волна нормально падает на экран с отверстием, расположенный в плоскости 
. Нужно знать распределение интенсивности излучения в некоторой плоскости 
, параллельной экрану с отверстием и расположенной на достаточно большом расстоянии от него. Точка Р с координатами 
, точка М с координатами 
:
Выражение для дифракционного светового поля в дальней зоне при условии, что дифракционная длина пучка
,
где d – начальный размер пучка, k – волновое число 
, 
- длина волны, называется дифракционный интеграл в приближении Фраунгофера
(1)
где 
- имеет смысл угловой координаты точки наблюдения.
Дифракция Фраунгофера как пространственное преобразование Фурье.
Возникающая в дальней зоне картина дифракции представляет для оптики первостепенный интерес, поскольку она устойчива и ее проще всего наблюдать экспериментально. С математической точки зрения выражение (1) представляет собой пространственный интеграл Фурье.
Наряду с временным описанием колебаний и волн в оптике применяется альтернативный – спектральный метод, он базируется на математической теории рядов и интегралов Фурье. Основная идея состоит в том, чтобы представить некоторую функцию в виде суммы гармонических колебаний различных частот. Набор частот и амплитуд образует спектр процесса.
Разложение в спектр не только удобная математическая операция. Во многих случаях оно осуществляется как реальное физическое явление. Классический пример – опыт Ньютона: стеклянная призма разбивает белый солнечный свет на семь основных цветов – красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синиц, фиолетовый. Приборы, действие которых основано на спектральном разложении света (призмы, решетки и т.д.), широко применяются в экспериментальной оптике (т.е. призма – прибор, осуществляющий преобразование Фурье белого света).
В нашем случае после прохождения через отверстие волна с ограниченной площадью поперечного сечения может быть строго плоской. Можно осуществить пространственное разложение Фурье для этой волны на сумму плоских волн, которое будет содержать слагаемые с волновыми векторами различных направлений. Эти слагаемые соответствуют дифрагировавшим волнам. Угловой разброс в направлении распространения для пучка шириной d из-за дифракции не может быть меньше 
.
Итак, выражение (1) – это пространственный интеграл Фурье, и величину 
назовем пространственной частотой. Физический смысл этого понятия дает рисунок, из которого видно, что
(2)
есть поперечная компонента волнового вектора, направленного из точки О (отверстия в точке наблюдения Р).
Формула (2) показывает, что между пространственной частотой 
и угловой координатой 
точки наблюдения поля имеется взаимно однозначное соответствие. Это позволяет записать комлексную амплитуду поля в точке наблюдения:
где
–
пространственная спектральная амплитуда, соответствующая распределению поля 
.
Итак, дифракционное поле в дальней зоне пропорционально пространственной Фурье-амплитуде исходного пучка. Нетрудно вычислить распределение интенсивности излучения в дальней зоне:
т.е. 
подставив значение 
, получаем:
где
– пространственная спектральная плотность или угловой спектр излучения.
Итак, угловое распространение интенсивности излучения в дальней зоне повторяет форму углового спектра светового пучка. Этот вывод раскрывает физический смысл Фраунгоферовой дифракции, как пространственное разложение ограниченного светового пучка на плоские волны. Картину преобразования углового спектра при дифракции плоской волны на отверстии имеет рисунок:
Согласно спектральным представлениям, поперечная компонента волнового вектора возникает вследствие ограничения апертуры (т.е. поперечных размеров) пучка отверстием.
Для дифракции Фраунгофера на щели шириной d начальное распределение амплитуд поля 
и пространственная спектральная амплитуда 
выглядит так:
Угловое распределение интенсивности в дальней зоне:
где
Теоретически рассчитанное угловое распространение интенсивности излучения можно проверить экспериментально, и оно показано на рисунке:
Опыт по дифракции аргонового лазера на щели дает дифракционную картину в виде центральной светлой полосы и боковых чередующихся темных и светлых полос убывающей яркости. При изменении ширины щели изменяется дифракционная картина: чем уже щель, чем шире светлые полосы на экране и, следовательно, больше угловая расходимость излучения в дальней зоне.
Дифракция на периодических структурах.
Дифракция света на периодических структурах отличается резким, контрастным характером наблюдаемой дифракционной картины. Это явление используется для измерения длины световой волны, а также для анализа спектрального состава оптического излучения. В опытах по дифракции лазерного луча или дифракционной решетке наиболее отчетливо проявляется основная закономерность Фраунгоферовой дифракции – формирование в дальней зоне устойчивой угловой структуры поля, повторяющей форму углового спектра пучка. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах доказывает волновую природу этих лучей и является мощным инструментом исследования структуры кристалла.
Дифракционные решетки. Дифракционная решетка представляет собой пространственную периодическую структуру, период которой соизмерим с длиной световой волны. Поскольку пространственная периодическая структура характеризуется дискретным угловым спектром, можно ожидать, что плоская волна, прошедшая через решетку, преобразуется в дискретный набор плоских волн, расходящихся под различными углами относительно направления исходной световой волны. Опыт по дифракции лазерного пучка на дифракционной решетке подтверждает этот вывод: картина дифракции имеет характерный вид дискретного набора световых лучей.
Дифракционные решетки бывают: пропускательные, отражательные, амплитудные, фазовые. Пропускательные решетки работают на пропускание света, отражательные – на отражение, амплитудные пространственно модулируют амплитуду, а фазовые – фазу световой волны. Простейшая амплитудная пропускательная решетка представляет собой систему щелей в непрозрачном экране. Отражательную амплитудную решетку изготавливают путем нанесения штрихов на плоское или вогнутое зеркало. Фазовая решетка может представлять собой профилированную стеклянную пластинку (пропускательная) или профилированное зеркало (отражательная).
Физика дифракции света на решетке. Элементарную теорию дифракции света на решетке можно дать на основе представлений Гюйгенса-Френеля об интерференции вторичных волн. Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны на периодической системе щелей, образующих пропускательную решетку. Процесс дифракции состоит в следующем. Падающая на решетку световая волна создает в щелях когерентные источники вторичных волн. Результирующее световое поле образуется в результате интерференции этих волн. На рисунке показаны волновые фронты этих волн.
Рисунок
Продолжая построение можно заметить, что точки пересечения волновых фронтов, т.е. точки ?????????? сложения полей, выстраиваются в прямые линии, образующие в пространстве набор направлений, вдоль которых вторичные волны усиливают друг друга. В этих направлениях и формируются главные максимумы дифракционной картины. В то же время для всех остальных направлений интерференция вторичных волн приводит к тому, что волны гасят друг друга. В результате узкие главные максимумы дифракционной картины оказываются разделенными широкими темными промежутками. Так возникает «веер» лучей.
Пользуясь френелевским представлением об интерференции вторичных волн, нетрудно определить направление на главные максимумы дифракционной картины.
Очевидно, это будут те максимумы, для которых разность хода лучей, идущих от соседних щелей, кратна длине волны. Обозначим период решетки d (сумма ширины прозрачной и непрозрачной полосок).
Из рисунка видно, что разность хода лучей, идущих от соседних щелей в направлении 
, следовательно, максимум определяется уравнением:
где 
, – длина световой волны. Уравнение называют уравнением дифракционной решетки.
Дифракция плоской волны на пропускательной решетке схематически показана на рисунке:
Идущие в разных направлениях лучи, соответствующие разным значениям m, называются порядком дифракции. Так, луч, проходящий в прямом направлении, называется нулевым порядком дифракции и т.д. Порядок дифракции (как видно из уравнения решетки) указывает на то, сколько длин волн составляет разность хода лучей, идущих от двух соседних щелей в данном направлении .
Из уравнения дифракционной решетки можно сделать важные выводы: 1) Из уравнения следует, что решетка будет давать заметную дифракцию (значительные углы отклонения) только в том случае, если период решетки соизмерим с длиной световой волны, т.е. 
, следовательно, оптическая дифракционная решетка должна иметь число штрихов (щелей) на мм порядка 
. Хорошие дифракционные решетки появились лишь в XIX веке. Из формулы следует, что решетка с мелким периодом должна отклонять лучи сильнее, чем решетка с крупным периодом. Вместе с тем через решетку со слишком мелким периодом (
) может проходить только неотклоненная волна (
);
2) Из уравнения следует, что положение главных максимумов зависит от длины волны , поэтому, если направить на дифракционную решетку немонохроматический пучок, то разные спектральные составляющие излучения будут отклоняться на разные углы. Следовательно, дифракционную решетку можно использовать как спектральный прибор, который подобно призме осуществляет пространственное разложение немонохроматического излучения длин волн.
Если в эксперименте с использованием аргонового лазера и дифракционной решетки с числом штрихов 50 на мм вблизи решетки создать мутную среду, например, напустить табачного дыма становится отчетливо виден «веер» световых лучей, распространяющихся от решетки по разным направлениям. Решетка с числом штрихов 200 на мм дает более редкую картину максимумов, число максимумов становится значительно меньше при периоде 600 штрихов на мм дает всего 3-4 разнесенных на большие углы. В последнем случае хорошо заметна спектральная структура излучения аргонового лазера (зеленое и желто-зеленое пятна). Т.е. дифракционная решетка с достаточно малым периодом может работать как сильный спектральный прибор – анализатор спектра. Именно в этом качестве дифракционные решетки используются в современных спектрометрах.
Дифракционная решетка была изобретена Фраунгофером, он изготавливал первые решетки из проволоки, намотанной на два параллельных винта. Таким образом, он получал от 40 до 340 штрихов на дюйм. С этими решетками ему удалось определить длину волны D-линии Na-5886А0. Позднее он стал наносить штрихи на тонком золотом слое, покрывающем стекло, затем на стекле алмазом. Лучшая решетка была шириной в 
дюйма и имела 8000 штрихов на дюйм. Фраунгофер указал и на возможность изготовления отражательных решеток.
Переход к современным решеткам являлся сложной технической задачей. Роуманд построил специальные делительные машины для изготовления тончайших решеток большого размера и первым стал делать вогнутые отражательные решетки, выполняющие одновременно роль решетки и собирающей линзы. Его решетки имели до 20000 штрихов на дюйм при ширине до 10 см. Современные решетки имеют от 600 до 6000 штрихов на мм и размеры до 
мм2.
Наклонное падение лучей на решетку. Мы рассмотрели случай нормального падения плоской волны на решетку. Обобщим на случай наклонного падения.
- угол падения, – угловая координата точки наблюдения. Приравняв разность хода лучей, идущих от соседних щелей решетки в направлении , к целому числу???? волн, получим: 
. Можно показать, что при скользящем падении, т.е. когда меньше 
, даже грубая решетка, т.е. 
, может дать дифракционную картину.
На опыте наблюдается дифракция света на граммофонной пластинке, концентрические бороздки выполняют функции штрихов. Располагая пластинку почти параллельно световому лучу, можно наблюдать, как белый свет приобретает радужную окраску.
Отражательная решетка представляет собой зеркало со штрихами. Изготовить ее проще, поэтому они получили широкое распространение. Уравнение для них имеет тот же вид. Отражение решетки имеет полезную особенность. Подбирая форму штриха, можно добиться перераспределения энергии между разными порядками дифракции. В частности можно сделать наиболее яркий не нулевой, а первый или второй порядок дифракции. Такие решетки называются эшелетами и применяются в оптической спектроскопии. Направим спектр излучения ртутной лампы: полученный с помощью фазовой отражательной решетки, форма штриха подобрана так, чтобы наиболее ярким был второй порядок дифракции. При применении отражательной дифракционной решетки в качестве дисперсионного элемента резонатора лазера на красителе можно плавно менять длину волны генерируемого излучения.
Перейдем к математическому описанию дифракции плоской волны или решетки.
Ограничимся рассмотрением дифракционной картины в дальней зоне. Общая схема расчета фраунгоферовой дифракции нами уже рассмотрена. Задавая начальное распределение амплитуды поля , находим пространственную спектральную амплитуду 
, затем угловой спектр 
и угловое распределение интенсивности 
. Рабочие формулы:
,
(1)
Рассмотрим пропускательную дифракционную решетку. Характеристикой решетки является комплексный коэффициент пропускания, определяемый как отношение комплексной амплитуды прошедшей волны 
к амплитуде падающей волны 
:
(2)
Рассмотрим элементарную пространственную периодическую структуру – синусоидальную решетку. Так называется решетка, коэффициент пропускания которой имеет вид:
(3)
d – период решетки, подставив выражения (2), (3) в (1), получим
Итак, спектральная амплитуда дифрагированной волны представляет собой сумму двух дельта-функций, т.е. пару бесконечных узких спектральных линий, расположенных на пространственных частотах 
. Этим пространственным частотам соответствуют углы:
где - длина световой волны, d – период решетки. Картина дифракции плоской волны на синусоидальной решетке показана на рисунке.
Выясним теперь, как влияет на вид дифракционной картины ограниченность размера решетки. Это важно понять, т.к. в реальных условиях, как дифракционная решетка, так и падающий на нее пучок имеет конечные поперечные размеры.
Обозначим D – полная ширина решетки, начальное распространение амплитуды:
(4)
подставив (4) в (1) и предполагая, что 
, 
, получим для 
график зависимости:
где 
, 
Видно, что дифракционная картина имеет два главных максимума, соответствующих двум углам, как и в предыдущем случае, однако теперь эти максимумы имеют конечную угловую ширину, определяемую формулой 
, где - длина волны, D – апертура решетки, т.е. конечность размеров приводит к уширению дифракционных максимумов.
Прямоугольная амплитудная решетка. Эта решетка представляет собой структуру щелей в непрозрачном экране. Функция пропускания на каждом периоде имеет вид прямоугольника, чем и объясняется термин «прямоугольная» решетка.
- ширина щели, d – период решетки. Коэффициент пропускания прямоугольной решетки можно записать в виде:
где N – число щелей, 
, 
; 
- коэффициенты центров щелей, d – период решетки.
t – коэффициент пропускания одной щели, ширина которой обозначена буквой . Подставив в (1), получим соответствующие формулы. Вид функций показан на рисунке:
Укажем основные характеристики дифракционной картины: направление на главные максимумы
угловая ширина главных максимумов
интенсивность света в максимуме
число главных максимумов
- формула показывает, что число главных максимумов дифракционной картины может быть как порядка единицы, так и много больше единицы в зависимости от соотношения параметров 
и .
Дифракция на двумерных периодических структурах.
Двумерная периодическая структура (двумерная решетка может быть получена путем положения двух скрещенных дифракционных решеток). В частности, если щели одной решетки направлены перпендикулярно щелям другой, то получается прямоугольная структура.
Первая дифракционная, штрихи которой направлены вертикально, разворачивает лазерный луч в «веер» лучей, лежащих в горизонтальной плоскости.
Вид дифракционной картины при дифракции лазерного пучка на скрещенных пропускательных дифракционных решетках:
Направления на главные максимумы дифракционной картины:
Удобно ввести другие угловые координаты точки Р, а имеющиеся углы между прямой ОР и осями координат 
- углы 
, тогда направления на главные максимумы:
коэффициент пропускания для ортогонально скрещенных решеток:
Дифракция на трехмерных периодических структурах. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах.
Кристаллы представляют собой естественные трехмерные периодические структуры с периодом 
. Поскольку длина волны видимого излучения (
) на несколько порядков превышает период кристаллической решетки (
), видимое излучение не испытывает дифракции в кристаллах. Иначе обстоит дело с рентгеновским излучением, длина волны которого соизмерима с периодом кристаллической решетки. В соответствии с уравнением дифракционной решетки такое излучение должно испытывать сильную дифракцию в кристаллах.